2010海淀区二模数学答案

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2010海淀区二模数学答案
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　　海淀区高三年级第二学期期末练习
　　数 学 （理）
　　参考答案及评分标准 2010．5
　　说明： 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
　　第Ⅰ卷（选择题 共40分）
　　一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
　　题号 1 2 3 4 5 6 7 8
　　答案 B A D C A B A D
　　第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
　　二、 填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
　　9．1 10． 11．2 ； 12．48 13．
　　14．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
　　；84.
　　三、解答题(本大题共6小题,共80分)
　　15．（本小题满分13分）
　　（Ⅰ）设等差数列 的公差为d,由 ,
　　可得 , ………………………2分
　　即 ,
　　解得 , ………………………4分
　　∴ ,
　　故所求等差数列 的通项公式为 . ………………………5分
　　（Ⅱ）依题意, ,
　　∴
　　, ………………………7分
　　又 , …………………9分
　　两式相减得 ………………………11分
　　, ………………………12分
　　∴ . ………………………13分
　　16．（本小题满分14分）
　　（Ⅰ）证明：连结 交 于 ,连结 ,
　　,
　　, ………… 1分
　　,
　　,
　　, ………… 3分
　　,
　　. ………… 4分[来源:Zxxk.Com]
　　（Ⅱ）如图所示,以 为原点,建立空间直角坐标系 ,
　　则 , , , ,
　　, , ,
　　,
　　………………………5分
　　,
　　………………………7分
　　异面直线 与 所成角的余弦值为 . ………………………8分
　　（Ⅲ） 侧棱 ,
　　, ………………………9分
　　设 的法向量为 ,
　　,并且 ,
　　,令 得 , ,
　　的一个法向量为 . ………………………11分
　　, ………………………13分
　　由图可知二面角 的大小是锐角,
　　二面角 大小的余弦值为 . .………………………14分
　　17． （本小题满分13分）
　　（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分
　　每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有 种等可能的情况 . …………………2分
　　事件A所包含的等可能事件的个数为3, …………………3分
　　所以, .
　　即：4人恰好选择了同一家公园的概率为 . ………………5分
　　（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C,则 . .………………………6分
　　4人中选择甲公园的人数 可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,因此,随机变量 服从二项分布.
　　可取的值为0,1,2,3,4. .………………………8分
　　, . .………………………10分
　　的分布列为:
　　0 1 2 3 4
　　.………………………12分
　　的期望为 ． .………………………13分
　　18.（本小题满分13分）
　　解法一：（Ⅰ）依题意得 ,所以 , .………………………1分
　　令 ,得 , .………………………2分
　　, 随x的变化情况入下表：
　　x
　　－ 0 + 0 －
　　极小值
　　极大值
　　………………………4分
　　由上表可知, 是 函数 的极小值点, 是函数 的极大值点.
　　………………………5分
　　（Ⅱ） , .………………………6分
　　由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,[来源:学+科+网Z+X+X+K]
　　.………………………7分
　　当 时, ,显然 对任意 恒成立； .…………………8分
　　当 时, 等价于 ,
　　因为 ,不等式 等价于 ,
　　.………………………9分
　　令 ,
　　则 ,在 上显然有 恒成立,所以函数 在 单调递增,
　　所以 在 上的最小值为 , .………………………11分
　　由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立,
　　需且只需 ,即 ,解得 ,因为 ,所以 .
　　综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .
　　.………………………13分
　　解法二：（Ⅰ）同解法一
　　（Ⅱ） , .………………………6分
　　由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立,
　　即 对任意 恒成立, …………………7分
　　当 时, ,显然 对任意 恒成立； …………………8分
　　当 时,令 ,则函数 图象的对称轴为 ,
　　.………………………9分
　　若 ,即 时,函数 在 单调递增,要使 对任意 恒成立,需且只需 ,解得 ,所以 ; ..………………………11分
　　若 ,即 时,由于函数 的图象是连续不间断的,假如 对任意 恒成立,则有 ,解得 ,与 矛盾,所以 不能对任意 恒成立.
　　综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数a的取值范围为 .[来源:学科网]
　　.………………………13分
　　19．（本小 题满分13分）
　　（Ⅰ）由题意,抛物线 的方程为： , …………2分
　　（Ⅱ）设直线 的方程为： .
　　联立 ,消去 ,得 ,
　　………………3分
　　显然 ,设 ,
　　则 ①
　　② …………………4分
　　又 ,所以 ③ …………………5分
　　由①② ③消去 ,得 ,
　　故直线 的方程为 或 . …………………6分
　　（Ⅲ）设 ,则 中点为 , 因为 两点关于直线 对称,
　　所以 ,即 ,解之得 , …………………8分
　　将其代入抛物线方程,得：
　　,所以, . ………………………9分
　　联立 ,消去 ,得：
　　. ………………………10分
　　由 ,得
　　,即 , …………………12分
　　将 , 代入上式并化简,得
　　,所以 ,即 ,
　　因此,椭圆 长轴长的最小值为 . ………………………13分
　　20．（本小题满分14分）
　　（Ⅰ）由题意可得:
　　, ………………………1分
　　. ………………………2分
　　（Ⅱ） , ………………………3分
　　, ………………………4分
　　, ………………………5分
　　当 时, , ;
　　当 时, ;
　　当 时, .[来源:Zxxk.Com]
　　综上所述, ………………………6分
　　即存在 ,使得 是 上的4阶收缩函数. ………………………7分
　　（Ⅲ） ,令 得 或 .
　　函数 的变化情况如下：
　　令 ,解得 或3. ………………………8分
　　ⅰ） 时, 在 上单调递增,因此, , .
　　因为 是 上的2阶收缩函数,
　　所以,① 对 恒成立；
　　②存在 ,使得 成立. ………………………9分
　　①即： 对 恒成立,
　　由 ,解得： 或 ,
　　要使 对 恒成立,需且只需 . .………………………10分
　　②即：存在 ,使得 成立.
　　由 得： 或 ,
　　所以,需且只需 .
　　综合①②可得： . .………………………11分
　　ⅱ）当 时,显然有 ,由于 在 上单调递增,根据定义可得：
　　, ,
　　可得 ,
　　此时, 不成立. .………………………13分
　　综合ⅰ）ⅱ）可得： .
　　注：在ⅱ）中只要取区间（1,2）内的一个数来构造反例均可,这里用 只是因为简单而已.