已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 21:43:47
已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0
已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0
已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数.证明:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0
证明：
x2∈[-1,1],则-x2∈[-1,1]
f(x)是奇函数,则f(x2)=-f(-x2)
不放设x1＞ -x2,则
x1-(-x2)＞0,即x1+x2＞0
f(x)是减函数,则
f(x1)-f(-x2)＜0
即f(x1)+f(x2)＜0
∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0
当等号成立时,f(x1)+f(x2)=0,且x1+x2≠0
f(x1)=-f(x2)
f(x1)=f(-x2)
由于函数是单调的,所以x1=-x2
此时x1+x2=0,矛盾
所以等号不可能成立
也就是说：
对任意x1,x2∈[-1,1],有
成立,
可是这时也可以说证明：
x2∈[-1,1],则-x2∈[-1,1]
f(x)是奇函数,则f(x2)=-f(-x2)
不放设x1＞ -x2,则
x1-(-x2)＞0,即x1+x2＞0
f(x)是减函数,则
f(x1)-f(-x2)＜0
即f(x1)+f(x2)＜0
∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0
当等号成立时,f(x1)+f(x2)=0,且x1+x2≠0
f(x1)=-f(x2)
f(x1)=f(-x2)
由于函数是单调的,所以x1=-x2
此时x1+x2=0,矛盾
所以等号不可能成立
也就是说：
对任意x1,x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0恒成立
得证