1/f1+1/f2+1/f3+1/f4=c,即几个数的倒数相加为一个常数,现在我需要f1+f2+f3+f4值最小,是不是f1=f2=f3=f4就可以达到最小?证明方法是什么?写写思路,或者推荐有详细证明过程的书籍也行.正确后,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:19:09
1/f1+1/f2+1/f3+1/f4=c,即几个数的倒数相加为一个常数,现在我需要f1+f2+f3+f4值最小,是不是f1=f2=f3=f4就可以达到最小?证明方法是什么?写写思路,或者推荐有详细证明过程的书籍也行.正确后,
1/f1+1/f2+1/f3+1/f4=c,即几个数的倒数相加为一个常数,现在我需要f1+f2+f3+f4值最小,
是不是f1=f2=f3=f4就可以达到最小?证明方法是什么?写写思路,或者推荐有详细证明过程的书籍也行.正确后,
1/f1+1/f2+1/f3+1/f4=c,即几个数的倒数相加为一个常数,现在我需要f1+f2+f3+f4值最小,是不是f1=f2=f3=f4就可以达到最小?证明方法是什么?写写思路,或者推荐有详细证明过程的书籍也行.正确后,
这个题目要说明f1f2f3f4都是正数.由1/f1+1/f2+1/f3+1/f4=c得4/(1/f1+1/f2+1/f3+1/f4)=4/c,
所以(f1+f2+f3+f4)/4≥4/(1/f1+1/f2+1/f3+1/f4)=16/c,当且仅当f1=f2=f3=f4时取等,最小值为16/c.
具体证明方法如下：【为了书写方便,用abcd代替f1f2f3f4,且有个前提是x/y+y/x≥2,这个很容易证明：因为(x-y)^2=x^2+y^2-2xy≥0,所以x^2+y^2≥2xy,所以(x^2+y^2)/xy≥2,即x/y+y/x≥2,当且仅当x=y时取等.】
(a+b+c+d)×(1/a+1/b+1/c+1/d)=4+(b+c+d)/a+(a+c+d)/b+(a+b+d)/c+(a+b+c)/d
=4+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(d/a+a/d)+(c/b+b/c)+(d/b+b/d)+(c/d+d/c)
≥4+2√(b/a×a/b)+2√(c/a×a/c)+…+2√(c/d×d/c)
=4+2+2+2+2+2+2=16,当且仅当a=b、a=c、d=a、b=c、b=d、c=d即a=b=c=d时取等
所以变形之后有：(a+b+c+d)/4≥4/(1/a+1/b+1/c+1/d),当且仅当a=b=c=d时取等