过点M（-2,0）的直线l与椭圆 x^2+2y^2=2 交于点P1,P2两点,设线段P1,P2的中点为P,若直线l的斜率为k1(k1不等于0),直线OP的斜率为k2,则k1*k2的值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/04 03:03:55
过点M（-2,0）的直线l与椭圆 x^2+2y^2=2 交于点P1,P2两点,设线段P1,P2的中点为P,若直线l的斜率为k1(k1不等于0),直线OP的斜率为k2,则k1*k2的值为多少?
过点M（-2,0）的直线l与椭圆 x^2+2y^2=2 交于点P1,P2两点,设线段P1,P2的中点为P,若直线l的斜率为k1(k1不等于0),直线OP的斜率为k2,则k1*k2的值为多少?
过点M（-2,0）的直线l与椭圆 x^2+2y^2=2 交于点P1,P2两点,设线段P1,P2的中点为P,若直线l的斜率为k1(k1不等于0),直线OP的斜率为k2,则k1*k2的值为多少?
解题思路,将直线方程带入椭圆方程求交点的方程,利用韦达定理求出中点坐标,再求出斜率
由于直线过(-2,0),则直线的方程为：
y=k1(x+2)=k1x+2k
将直线方程带入椭圆方程有：
x^2 + 2(k1x+2k1)^2 = 2
x^2 + (2k1^2)x^2 + (8k1^2)x + 8k1^2 = 2
(1+2k1^2)x^2 + (8k1^2)x + 8k1^2 -2 = 0
利用韦达定理,有：
x1+x2 = -b/a = -8k1^2/((1+2k1^2)
y1+y2 = k1x1+2k1+k1x2+2k1= k1(x1+x2)+4k1
= -8k1^3/(1+2k1^2)+4k1
= -8k1^3/(1+2k1^2)+ (4k1+8k1^3)/((1+2k1^2)
= 4k1/(1+2k1^2)
P为中点,中点的x坐标为：x=(x1+x2)/2
中点的y坐标为：y=(y1+y2)/2
OP的斜率为：k2=y/x=(y1+y2)/(x1+x2)=4k1/(-8k1^2)=-1/(2k1)
所以：k1*k2=k1*[-1/(2k1)]=-1/2