证明加法的交换律定义自然数的加法a+b如下：a+0=a （若b=0）a+1 = a的后继 （若b=1）a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1）证明如上定义的自然数加法,据有交换率.

证明加法的交换律定义自然数的加法a+b如下：a+0=a （若b=0）a+1 = a的后继 （若b=1）a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1）证明如上定义的自然数加法,据有交换率.
证明加法的交换律
定义自然数的加法a+b如下：
a+0=a （若b=0）
a+1 = a的后继 （若b=1）
a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1）
证明如上定义的自然数加法,据有交换率.

证明加法的交换律定义自然数的加法a+b如下：a+0=a （若b=0）a+1 = a的后继 （若b=1）a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1）证明如上定义的自然数加法,据有交换率.
1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.其中加法交换律a+b=b+a是一条公理.因此,如果你说的交换律是指康托尔的实数系统的交换律的话,那么它是不证自明的.
但对于更早的其他一些实数系统,加法交换律或许是由其他公理推演的,这要看实数系统的构成,不能一概而论.

这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。(涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) (即交换律是定义的)

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这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。(涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) (即交换律是定义的)
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c) （即结合率）
3.然后证明这个定义是合理的，即按这种定义定义的2元函数存在且唯一。
4.最后验证这个定义恰好和我们平常的加法一样，也就是说加法具有交换律。
在更一般的数学结构（比如说群）上，交换律也一般作为定义或类似于公理的形式给出。当然类似的证明也是存在的，但是很麻烦。
或
数学归纳法
当n=0时 左边=m+0=m 右边=0+m=m 显然左边=右边
假设当n=k k属于N时 等式成立 即m+k=k+m
则当n=k+1时 m+(k+1)={0 1 2 ... m+(k+1)-1}={0 1 ... m+k}(自然数定义构造)
(k+1)+m={0 1 2 ... (k+1)+m-1}={0 1 ... k+m}
根据假设则m+k=k+m 所以 m+(k+1)=(k+1)+m
所以对于所有的n属于N都有m+n=n+m
证毕
另附：2+3=5证明
因为：2 = 1 + 1；3 = 1 + 1 + 1；
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1；
所以：
2 + 3 = （1 + 1） + （1 + 1 + 1） = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5；
证讫。
前面是 2、3、5的定义，后面是加法规则。由此可见，一个严格的证明要涉及自然数和加法的定义。
自然数的定义，可用（Giuseppe Peano,1858～1932，意大利数学家，逻辑学家）公理：
自然数的集合 N 符合下面的公理：
公理 1： 1 为 N 的元素；（换言之，N 非空集）
公理 2：对于 N 的任一元素 n 存在唯一的 {n}，称之为其后继，其也为自然数，即也在 N 内。（同一元素，有同一后继。）
公理 3: 对于 N 的任一元素 n, {n} 不是（或说，不等于） 1。（这样，N 至少有两个元素了。）
公理 4：N 内不同的元素，有不同的后继。（此公理确定 N 内不止两个元素。如其不然，1 的后继为 2，2 的后继也为 2，这符合前面三个公理，于是 N 仅有两个元素了。）
公理 5：（归纳公理）对于任何集合 M，如其满足如下两个条件：1） 1 是其元素；2）对于其任意元素 m，其后继 {m}也是其元素，则 M 已包含全部自然数 N。
公理 5 对全部自然数加以界定，是归纳法的基础。
在此五个公理的基础上，我们就有了 1、2、3、4、5、6、......，无非是命名的问题，或称记数法。
下面对加法（+）加以定义。加法施于自然数 N 的任意两个元素 n 和 m，满足如下条件：
1）n + 1 = {n};
2) n + {m} = {n + m}
不难证明，这样的运算存在，而且唯一。继而，我们可一证明加法的交换律

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1+1=1+1
1+2=1+2
1+3=1+3
、、、、、
由数学归纳法
1+n=n+1
2+n=n+2
、、、、、
由数学归纳法
n+m=m+n
综上，交换率成立

这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。(涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) (即交换律是定义的)

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这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。(涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) (即交换律是定义的)
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c) （即结合率）
3.然后证明这个定义是合理的，即按这种定义定义的2元函数存在且唯一。
4.最后验证这个定义恰好和我们平常的加法一样，也就是说加法具有交换律。
在更一般的数学结构（比如说群）上，交换律也一般作为定义或类似于公理的形式给出。当然类似的证明也是存在的，但是很麻烦。

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用数学归纳原理即可。但我想的证明有点技巧性，需要用两次归纳。
1. 证明a+0=0+a. 用归纳法。
a=0时显然。设a=k时有k+0=0+k, 则a=k+1时：
(k+1)+0=k+1=(k+0)+1=(0+k)+1=0+(k+1). 命题成立！
2. 证明a+b=b+a. 对b用归纳法。
b=0时"1"中已证。
设b=k时命题成立，即：任意a, ...

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用数学归纳原理即可。但我想的证明有点技巧性，需要用两次归纳。
1. 证明a+0=0+a. 用归纳法。
a=0时显然。设a=k时有k+0=0+k, 则a=k+1时：
(k+1)+0=k+1=(k+0)+1=(0+k)+1=0+(k+1). 命题成立！
2. 证明a+b=b+a. 对b用归纳法。
b=0时"1"中已证。
设b=k时命题成立，即：任意a, a+k=k+a.（记为归纳假设i）
往证b=k+1时命题成立，即：任意a, a+(k+1)=(k+1)+a.
欲证上式，对a用数学归纳法（这一步有点技巧性，直接用归纳假设i证上式似乎有些困难）。
a=0时"1"中已证。
设a=m时命题成立，即：对上述k, m+(k+1)=(k+1)+m.（记为归纳假设ii）
往证a=m+1时命题成立. 即：(m+1)+(k+1)=(k+1)+(m+1).
左=((m+1)+k)+1//加法定义
=(k+(m+1))+1//归纳假设i
=((k+m)+1)+1//加法定义
=((m+k)+1)+1//归纳假设i
=(m+(k+1))+1//加法定义
=((k+1)+m)+1//归纳假设ii
=(k+1)+(m+1)//加法定义
=右
故a=m+1时命题成立！从而原命题成立。

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