一道高二的数学不等式证明题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.（1）如果x1

一道高二的数学不等式证明题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.（1）如果x1
一道高二的数学不等式证明题
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.
（1）如果x1<2-1
（2）如果|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围

一道高二的数学不等式证明题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b属于R,a>0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2.（1）如果x1
（1）设g(x)=f(x)=-x=ax^2+(b-1)x+1,且x>0
∵x1<2∴(x1-2)(x2-2)<0
即x1x2<2(x1+x2)-4
于是得
x0=-b/(2a)
=1/2*[-(b-1)/a-1/a]
=1/2(x1+x2)-1/2x1x2
>1/2(1/2(x1+x2)-1/2x1x2=-(x1+x2)+2>-(2+4)+2=-1
(2)由方程g(x)=f(x)=-x=ax^2+(b-1)x+1可知
x1*x2=1/a>0
所以x1,x2同号
a.
若0∴x2=x1+2>2
∴g(2)<0,即4a+2b-1<0.1
又(x2-x1)^2=(b-1)^2/a^2-4/a=4
∴2a+1=√[(b-1)^2+1](∵a>0)代入1式得
2√[(b-1)^2+1]<3-2b.2
解2式得b<1/4
b.
若-2∴x2=x1+2>2
∴g(-2)<0,即4a-2b+3<0.3
又2a+1=√[(b-1)^2+1](∵a>0)代入3式得
2√[(b-1)^2+1]<2b-1.4
解4式得b>7/4
综上
当若0当若-27/4

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0) 设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2
(1) 如果 a=2 且x1<2（2）如果0f(x) = 2x^2 + bx + 1 = x,
2x^2 + (b-1)x + 1 = 0.
(b-1)^2 - 8 >...

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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0) 设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2
(1) 如果 a=2 且x1<2（2）如果0f(x) = 2x^2 + bx + 1 = x,
2x^2 + (b-1)x + 1 = 0.
(b-1)^2 - 8 > 0,
(b-1)^2 > 2*2^(1/2)
b > 1 + 2^(3/2)
或
b < 1 - 2^(3/2).
设g(x) = f(x) - x = 2x^2 + (b-1)x + 1
曲线g(x)是开口向上的抛物线。
(1)
g(x1) = 0 > g(2) < 0 = g(x2) < g(4)
8 + 2(b-1) + 1< 0 < 32 + 4(b-1) + 1.
b < -7/2, b > -29/4
-29/4 < b < -7/2. b > 1 + 2^(3/2)或b < 1 - 2^(3/2).
综合，有
-29/4 < b < -7/2
（2）
|x2 - x1| < 2,
4 > (x2 - x1)^2 = (x2 + x1)^2 - 4x2x1 = (b/2)^2 - 4(1/2) = b^2/4 - 2,
b^2 < 24
|b| < 2*6^(1/2)
-2*6^(1/2) < b < 2*6^(1/2).
-2 < x2 - x1 < 2,
-2 = 0 - 2 < x1 - 2 < x2 < x1 + 2 < 2 + 2 = 4
-2 < 0 < x1 < 2 < 4.
0 < g(-2) = 8 -2(b-1) + 1 = 11 - 2b,b < 11/2
0 < g(4) = 32 + 4(b-1) + 1 = 29 + 4b, b > -29/4
-29/4 < b < 11/2.
又，b > 1 + 2^(3/2)或b < 1 - 2^(3/2).
综合，有
1 + 2^(3/2) < b < 11/2或-29/4 < b < 1 - 2^(3/2)

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（1）f(x)=x，即g(x)=ax^2+(b-1)x+1=0(a b属于R a>0)
若两根为c和d且c<2只需g(x)中△=(b-1)^2-4a>0
且g(2)<0,g(4)>0
得4a+2b-1<0,16a+4b-3>0,则8a+2b-3/2>0>6a+3b-3/2
即2a-b>0,b<2a，又a>0，则b/2a<1
对称...

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（1）f(x)=x，即g(x)=ax^2+(b-1)x+1=0(a b属于R a>0)
若两根为c和d且c<2只需g(x)中△=(b-1)^2-4a>0
且g(2)<0,g(4)>0
得4a+2b-1<0,16a+4b-3>0,则8a+2b-3/2>0>6a+3b-3/2
即2a-b>0,b<2a，又a>0，则b/2a<1
对称轴为直线x=x。=-b/2a>-1
得证
(2)ax^2+(b-1)x+1=0两根为c和d
则△=(b-1)^2-4a>0，c+d=(1-b)/a,cd=1/a
2>a>0,|c-d|=2
所以(c-d)^2=(c+d)^2-4cd=4
代入解得12a=(b-1)^2>4a。对于a>0恒成立
0<(b-1)^2=12a<12*2=24
所以1-2√6得b的取值范围：(1-2√6,1)∪(1,1+2√6)

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