在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设Q为SD的中点,M为AB的中点.(1)求证:MQ‖平面SBC;(2)求证:平面SDM⊥平面SCD;
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 15:57:05
在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设Q为SD的中点,M为AB的中点.(1)求证:MQ‖平面SBC;(2)求证:平面SDM⊥平面SCD;
在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设Q为SD的中点,M为AB的中点.
(1)求证:MQ‖平面SBC;
(2)求证:平面SDM⊥平面SCD;
在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设Q为SD的中点,M为AB的中点.(1)求证:MQ‖平面SBC;(2)求证:平面SDM⊥平面SCD;
(1)以BA为x轴,BC为y轴,BS为z轴建系
设SB=AB=1,则A(1,0,0)S(0,0,1)D(1,1,0)
则M(0.5,0,0)Q(0.5,0.5,0.5)所以向量MQ=(0,0.5,0.5)
平面SBC的一条法向量为u=(1,0,0)
向量MQ×u=0,所以MQ‖平面SBC
(2)向量MD=(0.5,1,0),向量MS=(-0.5,0,1),向量CS=(0,-1,1),向量CD=(1,0,0)
设平面SDM的法向量为n=(a,b,c),设平面SCD的法向量为m=(d,e,f)
则0.5a+b=0,-0.5a+c=0,解得:a=-2b=2c,所以n=(2,-1,1)
同理,-e+f=0,d=0,解得:d=0,e=f,所以m=(0,1,1)
因为m×n=0,所以
平面SDM⊥平面SCD
解法二:(1)证明:取SC的中点R,连结QR、BR,
因为Q为SD的中点,
所以QR‖DC且QR=1/2DC.
在正方形ABCD中,M为AB的中点,
∴BM‖DC且BM=1/2DC.
∴四边形MQRB为平行四边形,
∴MQ‖BR,又BR属于平面SBC,
∴MQ‖平面SBC.
(2)证明:因为SB=AB,所以ΔSBC为等腰三角形,又R为SC中点,
∴BR⊥SC,∵MQ‖BR ∴MQ⊥SC.
∵CD⊥BC,∴CD⊥BR,(三垂线定理)
∴MQ⊥CD,SC∩CD=C,∴MQ⊥平面SCD,
而MQ属于平面SDM ∴平面SDM⊥平面SCD.