在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:56:00
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,求
(1)求曲线C的方程
(2)求点M的轨迹方程
(3)求 | 向量OM | 的最小值
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
c=√3,e=√3/2,a=2,b=1,x^2/4+y^2=1
P（s,t）,过P直线：y=k（x-s）+t代入x^2/4+y^2=1得（1+4k^2)x^2-8k(ks-t)x+4(ks-t)^2-4=0
1/16判别式=4k^2(ks-t)^2－4k^2(ks-t)^2－(ks-t)^2+4k^2+1=(4-s^2)k^2+2stk－t^2+1
=4t^2k^2+2stk+1/4s^2=（2tk+1/2s）^2=0,k=－s/(4t),y=－s/(4t)（x-s）+t
A（4t^2/s+s,0）=（4/s,0）；B（0,s^2/(4t)+t)=(0,1/t）
设M（x,y）,则x=4/s,y=1/t,s=4/x,t=1/y,代入s^2/4+t^2=1得4/x^2+1/y^2=1,x^2+4y^2=x^2y^2,因0=0,m>=9
或m2,y>1)
所以| 向量OM | 的最小值=3