点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/08 03:29:12
点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离
点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离
点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离
楼上的思路的顺序错了,首先要看看y=x^2-lnx和y=x+2有没有交点：
联列方程组,即：x^2-lnx=x+2,即：x^2-x-2=lnx
令y1=x^2-x-2,y2=lnx
两个草图都比较容易画出来,
y1=x^2-x-2与x轴的交点是（-1,0）和（2,0）,而y2过点（1,0）
显然有交点,那么也就意味着y=x^2-lnx和y=x+2有交点,则最小距离为0；
如果数形结合做出没有交点,再去用切线平行的方法求出切点.
如果不懂,请Hi我,
设曲线上的点为（x,x^2-lnx)，根据点到直线x-y+2=0的距离公式得
d=|x-x^2+lnx+2|/√2
即求函数f(x)=x^2-x-lnx-2的最值
求导得
f'(x)=2x-1-1/x=0
解得x=1
f(x)=-2
所以最小距离是√2，此时，x=1法一：取曲线y=x^2-lnx上任一点P（t,t^2-lnt）,P到直线y=x...
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设曲线上的点为（x,x^2-lnx)，根据点到直线x-y+2=0的距离公式得
d=|x-x^2+lnx+2|/√2
即求函数f(x)=x^2-x-lnx-2的最值
求导得
f'(x)=2x-1-1/x=0
解得x=1
f(x)=-2
所以最小距离是√2，此时，x=1
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首先x^2-lnx=x+2 无交点：x^2-x-2= lnx 发现若是左边曲线和右边的直线有交点一定在（1，无穷），那么对y=x^2-x-2-lnx 求导，是2x-1-1/x ,发现有极值点x= （（根号下5）+1）/2, 将这个值带进y=x^2-x-2-lnx，发现是3，正的，言外之意就是没交点
所谓和直线的最小距离就是找到一点，使在该点的切线与已知直线平行，则二平行线间的距离就是P点至已知直线的最小距离，求出曲线的导函数，令其和直线的斜率相等，求出切点，再用距离公式，求出距离。
y'=2x-1/x,
直线斜率k=1，
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x1=-1/2,x2=1,
而由定义域得知...
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所谓和直线的最小距离就是找到一点，使在该点的切线与已知直线平行，则二平行线间的距离就是P点至已知直线的最小距离，求出曲线的导函数，令其和直线的斜率相等，求出切点，再用距离公式，求出距离。
y'=2x-1/x,
直线斜率k=1，
2x-1/x=1,
2x^2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x1=-1/2,x2=1,
而由定义域得知x>0,故舍去-1，
y=1^2-ln1=1,
得P（1，1），
根据点线距离公式，
d=|1-1+2|/√（1^2+1^2)=√2，
∴点P到直线y=x+2的最小距离为√2。
以上是在直线和曲线相离时的方法 ，但相交，则为0。确实是有两个交点，故为0。
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点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x2-lnx的导数 y′=2x- 1/x=1，x=1，或 x=- 1/2（舍去），
故曲线y=x^2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等...
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点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x-2平行时，
点P到直线y=x-2的距离最小．
直线y=x-2的斜率等于1，
令y=x2-lnx的导数 y′=2x- 1/x=1，x=1，或 x=- 1/2（舍去），
故曲线y=x^2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x-2的距离等于根号 2，
故点P到直线y=x-2的最小距离为 根号2，
故答案为 根号2．
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