级数的绝对收敛与条件收敛的一道题判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【(-1)^n 】×[ln（n^2＋1）]/(n^p)当它是绝对收敛时求p的范围 当它是条件收敛时求p的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:53:49
级数的绝对收敛与条件收敛的一道题判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【(-1)^n 】×[ln（n^2＋1）]/(n^p)当它是绝对收敛时求p的范围 当它是条件收敛时求p的范围
级数的绝对收敛与条件收敛的一道题
判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【(-1)^n 】×[ln（n^2＋1）]/(n^p)当它是绝对收敛时求p的范围 当它是条件收敛时求p的范围
级数的绝对收敛与条件收敛的一道题判断交错级数 符号就不打了n=1到无穷 【(-1)^n 】×[ln（n^2＋1）]/(n^p)当它是绝对收敛时求p的范围 当它是条件收敛时求p的范围
首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)] （洛比达法则）
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1 取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在N 当n>N 有01时原级数绝对收敛
再考虑条件收敛
当p0 由上讨论得lim|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|=0
令f(x)=In(x^2+1)/x^p x,p>0
f'(x)=[2x^(p+1)/(x^2+1)-In(x^2+1)*px^(p-1)]/x^2p
=[2x^2/(x^2+1)-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
N'时 f(n+1)0时交错级数收敛
∴0
不大可能做到！
因为P制约的东西太多了！
在判断交错级数的时候就要用一次！
如果满足交错级数收敛的话！
它就可以证到是绝对收敛啦！！
那时候p>1
但如果不满足交错级数收敛的话！也就是说p<1的话！叫错级数都不收敛了！那还谈什么条件级数！！！
唉！！！
等高手吧你！！
或者你认真点看下题目！有出入么？？...
全部展开
不大可能做到！
因为P制约的东西太多了！
在判断交错级数的时候就要用一次！
如果满足交错级数收敛的话！
它就可以证到是绝对收敛啦！！
那时候p>1
但如果不满足交错级数收敛的话！也就是说p<1的话！叫错级数都不收敛了！那还谈什么条件级数！！！
唉！！！
等高手吧你！！
或者你认真点看下题目！有出入么？？
收起
首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)】
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1 取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在...
全部展开
首先考虑a=[In(n^2+1)]/n^t t>0
则lima=lim[2n/(n^2+1)*t*n^(t-1)】
=lim[2n^2/t*(n^2+1)]*[1/n^t]=0
考虑绝对收敛
当p>1 取s使p>s>1
则lim{[In(n^2+1)]/(n^p)}/(1/n^s)
=lim[In(n^2+1)]/n^(p-s)=0
∴存在N 当n>N 有0<[In(n^2+1)]/(n^p)<(1/n^s)
又∑(1/n^s)收敛 则∑[In(n^2+1)]/(n^p)收敛
即原级数绝对收敛
当p<=1
n足够大时
[In(n^2+1)]/(n^p)>=[In(n^2+1)]/n>1/n
可知∑[In(n^2+1)]/(n^p)发散
∴p>1时原级数绝对收敛
再考虑条件收敛
当p<=0 |[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|极限不为零
故级数不收敛
当p>0 由上讨论得lim|[(-1)^n][In(n^2+1)]/(n^p)|=0
令f(x)=In(x^2+1)/x^p x,p>0
f'(x)=[2x^(p+1)/(x^2+1)-In(x^2+1)*px^(p-1)]/x^2p
=[2x^2/(x^2+1)-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
<[2-pIn(x^2+1)]/x^(p+1)
当x足够大时 f'(x)<0 即存在N'当n>N'时 f(n+1)
∴0
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