已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 23:06:33
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
我成绩不太好啊
若使f(x)>k/(x+1)恒成立
即(1+ln(x+1))/x>k/(x+1)恒成立
因x+1>1
故即是使(x+1)(1+ln(x+1))/x>k恒成立
令g(x)=(x+1)(1+ln(x+1))/x
显然只要g(x)最小值＞k即可
g′(x)=[x-1-ln(x+1)]/x²
令h(x)=x-1-ln(x+1)
h′(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
故x>0时,h′(x)>0
即h(x)在(0,+∞)上单调递增
故h(x)>h(0)=-1
显然g′(3)=[2-ln4]/9>0
g′(2)=[1-ln3]/4<0
设当x=t时,g′(x)=0
即t-1-ln(t+1)=0
即ln(t+1)=t-1
显然2
故当x=t时,g(x)有最小值
为g(t)=(t+1)(1+ln(t+1))/t
=(t+1)(1+t-1)/t
=t+1
又2
你可以参考下liu30003000和iamqinqiang 的答案。
先利用f'(x)<0知f(x)是减函数
当x>0时，f(x)>k/(x+1)恒成立
当x=1时，k<2(1+ln2)
k是正整数，所以k的最大值不大于3
下面证明当k=3时，f(x)>3/(x+1)恒成立
即当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x
则g'(x)=ln(x+1)-1
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先利用f'(x)<0知f(x)是减函数
当x>0时，f(x)>k/(x+1)恒成立
当x=1时，k<2(1+ln2)
k是正整数，所以k的最大值不大于3
下面证明当k=3时，f(x)>3/(x+1)恒成立
即当x>0时，(x+1)ln(x+1)+1-2x>0
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x
则g'(x)=ln(x+1)-1
当x>e-1时，g'(x)>0, （g(x)增）
当0
所以当x>0时，g(x)>0恒成立。
所以正整数k的最大值是3
收起
我不是来回答的，因为我的回答被抄袭了
我提交的时候被判为广告，结果去投诉的时候
被人抄袭了答案，粘贴到这里，就是colddloc - 魔法师 四级
你看看吧
http://tieba.baidu.com/f?ct=335675392&tn=baiduPostBrowser&sc=5880908802&z=568810841&pn=0&rn=30&lm=0&word=...
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我不是来回答的，因为我的回答被抄袭了
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注意时间
我建议你采纳liu30003000的答案，毕竟这也很好
如果你采纳2，3楼的，就当我没说
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