关于实数的计算,怎么算,

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四则运算封闭性　　实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数.
实数集有序性
　　实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.
实数的传递性
　　实数大小具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.
实数的阿基米德性
　　实数具有阿基米德（Archimedes）性,即对任何a,b ∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.
实数的稠密性
　　实数集R具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数.
实数唯一性
　　如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点,指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向）,并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之,数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系.
　　完备性
　　作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质：
　　所有实数的柯西序列都有一个实数极限.
　　有理数集合就不是完备空间.例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列,但没有有理数极限.实际上,它有个实数极限 √2.实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法.
　　极限的存在是微积分的基础.实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”.
“完备的有序域”
　　实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释.
　　首先,有序域可以是完备格.然而,很容易发现没有有序域会是完备格.这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z,z + 1 将更大）.所以,这里的“完备”不是完备格的意思.
　　另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义.上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思.这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从（有理数）有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性.
　　这两个完备性的概念都忽略了域的结构.然而,有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念.上述完备性中所述的只是一个特例.（这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质.）当然,R 并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域.实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见.可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）.这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从（有理数）阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性.
　　“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思.他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域.这样 R 是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域.这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域.
高级性质
　　实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）.这一点,可以通过康托尔对角线方法证明.实际上,实数集的势为 2ω（请参见连续统的势）,即自然数集的幂集的势.由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数.实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设.该假设不能被证明是否正确,这是因为它和集合论的公理不相关.
　　所有非负实数的平方根属于 R,但这对负数不成立.这表明 R 上的序是由其代数结构确定的.而且,所有奇数次多项式至少有一个根属于 R.这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例.证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分.
　　实数集拥有一个规范的测度,即勒贝格测度.
　　实数集的上确界公理用到了实数集的子集,这是一种二阶逻辑的陈述.不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明,存在一个实数集的可数稠密子集,它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R,但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题.满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型.这就是非标准分析的研究内容,在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些）,从而确定这些命题在 R 中也成立.
拓扑性质
　　实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|.作为一个全序集,它也具有序拓扑.这里,从度量和序关系得到的拓扑相同.实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间.但实数集不是紧致空间.这些可以通过特定的性质来确定,例如,无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚.以下是实数的拓扑性质总览：
　　令 a 为一实数.a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集.
　　R 是可分空间.
　　Q 在 R 中处处稠密.
　　R的开集是开区间的联集.
　　R的紧子集是有界闭集.特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集.
　　每个R中的有界序列都有收敛子序列.
　　R是连通且单连通的.
　　R中的连通子集是线段、射线与R本身.由此性质可迅速导出中间值定理.
编辑本段扩展与一般化
　　实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
　　最自然的扩展可能就是复数了.复数集包含了所有多项式的根.但是,复数集不是一个有序域.
　　实数集扩展的有序域是超实数的集合,包含无穷小和无穷大.它不是一个阿基米德域.
　　有时候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集,构成扩展的实数轴.它是一个紧致空间,而不是一个域,但它保留了许多实数的性质.
　　希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数.