在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 04:45:12
在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN
在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN
在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN
如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′,则△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴点M′、C、N三点共线,
∵∠MBN=12∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,
∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,
∴△BMN≌△BM′N（SAS）,
∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,
∴MN=AM+CN；
（2）MN=CN-AM．
理由如下：如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°,
又∵∠BAD+∠BAM=180°,
∴∠C=∠BAM,
在△ABM和△CBM′中,∠CBM′=∠ABMAB=BC∠C=∠BAM,
∴△ABM≌△CBM′（ASA）,
∴AM=CM′,BM=BM′,
∵∠MBN=12∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△MBN和△M′BN中,
∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,
∴△MBN≌△M′BN（SAS）,
∴MN=M′N,
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,
∴MN=CN-AM．
∵ABCD是正方形
∴∠ABC=∠A=∠BCD=90°
AB=BC
将Rt△BAM绕B旋转到AB和BC重合，得Rt△BCE≌Rt△BAE
∴BE=BM，AM=CE
∠ABM=∠CBE
∵∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠ABM+∠MBN+∠CBN=90°=∠ABM+∠CBN+45°=90°
∴∠ABM+∠CBN=45°
∴∠CBE+∠C...
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∵ABCD是正方形
∴∠ABC=∠A=∠BCD=90°
AB=BC
将Rt△BAM绕B旋转到AB和BC重合，得Rt△BCE≌Rt△BAE
∴BE=BM，AM=CE
∠ABM=∠CBE
∵∠ABC=∠ABM+∠MBC=∠ABM+∠MBN+∠CBN=90°=∠ABM+∠CBN+45°=90°
∴∠ABM+∠CBN=45°
∴∠CBE+∠CBN=∠NBE=45°
∴∠MBN=∠NBE
∵BM=BE，BN=BN
∴△BMN≌△BNE
∴MN=NE=CN+CE=CN+AM=AM+CN
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