在正方形ABCD中点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,Q.（1）如图1,当点E在边AD上时,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 03:55:52
在正方形ABCD中点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,Q.（1）如图1,当点E在边AD上时,
在正方形ABCD中点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O
在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,Q.
（1）如图1,当点E在边AD上时,请动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证明你所猜测的结论；
（2）如图2,若点E在DA的延长线上,AE,MP,NQ之间的数量关系又是怎样?写出结论
（3）如图3,连接BN并延长,交AD的延长线DG于H,若点E分别在线段DH和射线HG上时在图3中画出符合题意的图形,并判断AE,MP,NQ之间的数量关系又分别怎样?直接写出结论
在正方形ABCD中点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,Q.（1）如图1,当点E在边AD上时,
(1) MP+NQ=AE
(2)AE+MP=NQ
xzczxc
(1)∵∠1=∠4=∠3,PK=BA,∠BAE=∠PKQ=90°
∴△BAE≌△PKQ
∴AE=KQ=KN+NQ=MP+NQ
(2)NQ=AE+MP
∵∠3=∠2=∠1,PK=BA,∠BAE=∠PKQ=90°
∴△BAE≌△PKQ
∴AE=KQ
∴NQ=QK+KN=AE+MP
(3)没图
（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形MNQQ′为矩形，
...
全部展开
（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形MNQQ′为矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．（6分）
（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP．（8分）
（3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1．（10分）
若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2-NQ2．（12分）
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