在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,（1）如图1,当点E在边AD上时,请动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:53:14
在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,（1）如图1,当点E在边AD上时,请动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证
在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,
（1）如图1,当点E在边AD上时,请动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证明你所猜测的结论；
（2）如图2,若点E在DA的延长线上,AE,MP,NQ之间的数量关系又是怎样?写出结论
（3）如图3,连接BN并延长,交AD的延长线DG于H,若点E分别在线段DH和射线HG上时在图3中画出符合题意的图形,并判断AE,MP,NQ之间的数量关系又分别怎样?直接写出结论
在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB,CD于M,N,连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB,CD于P,（1）如图1,当点E在边AD上时,请动手测量三条线段AE,MP,NQ的长度,猜测AE与MP+NQ之间的数量关系,并证
（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q',
则∠MQ′Q=90°,
∵MN⊥AB,
∴∠AMN=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,
∴四边形AMND为矩形,
∴MN=AD=AB,
∴∠Q′MN=∠QNM=90°,
∴四边形MNQQ′为矩形,
∴QQ′=MN=AB,NQ=Q′M,（3分）
在△BAE和△QQ′P中,
∵PQ⊥BE,
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°,
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°,
∴∠Q′QP=∠ABE,（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°,QQ′=AB,
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE,
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ,
∴AE=MP+NQ．（6分）
（2）如图②,若点E在DA的延长线上时,结论AE=QN-MP．（8分）
（3）如图,若点E1在线段DH上时,结论：AE1=MP1+NQ1．（10分）
若点E2在射线HG上时,结论：AE2=MP2-NQ2．（12分）
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