已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点若|AB|=根号3求b值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:33:35
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点若|AB|=根号3求b值.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点
若|AB|=根号3求b值.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点若|AB|=根号3求b值.
∵e＝c/a＝√6/3,∴c^2/a^2＝6/9＝2/3,∴（a^2－b^2）/a^2＝2/3,∴1－b^2/a^2＝2/3,
∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.
∴c^2/a^2＝c^2/（3b^2）＝2/3,∴c^2＝2b^2,∴c＝√2b.
显然,AB的方程是：y＝x－c.
联立：y＝x－c、x^2/a^2＋y^2/b^2＝1,消去y,得：x^2/a^2＋（x－c）^2/b^2＝1,
∴x^2/（3b^2）＋（x－c）^2/b^2＝1,
∴x^2＋3（x－c）^2＝3b^2,
∴x^2＋3x^2－6cx＋3c^2＝3b^2,
∴4x^2－6√2x＋6b^2＝3b^2,
∴4x^2－6√2x＋3b^2＝0.
∵A、B在直线y＝x－c上,∴可分别令A、B的坐标是（m,m－c）、（n,n－c）.
很明显,m、n是方程4x^2－6√2x＋3b^2＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝3√2/2、mn＝3b^2/4.
依题意,有：｜AB｜＝√3,∴｜AB｜^2＝3,∴（m－n）^2＋［（m－c）－（n－c）］^2＝3,
∴2（m－n）^2＝3,∴（m－n）^2＝3/2,∴（m＋n）^2－4mn＝3/2,
∴（3√2/2）^2－4（3b^2/4）＝3/2,
∴9/2－3b^2＝3/2,
∴b^2＝3/2－1/2＝1,
∴b＝1.
离心率=c/a=√(a²-b²) /a=√6/3 得(a²-b²) /a²=6/9 b²/a²=1/3 a=√3b
又焦点为（0，c) ,斜率为1的直线为 y=x-c=x-√2b
带入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1得 x²/3b²+(x-√2b)²/b...
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离心率=c/a=√(a²-b²) /a=√6/3 得(a²-b²) /a²=6/9 b²/a²=1/3 a=√3b
又焦点为（0，c) ,斜率为1的直线为 y=x-c=x-√2b
带入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1得 x²/3b²+(x-√2b)²/b²=1
x²+3(x-√2b)²=3b² 4x²-6√2bx-3b²=0
解得xA+xB=6√2b/4=3b/√2 xAxB=-3b²/4 (xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=9b²/2+3b²=15b²/2
yA-yB=xA-xB
3=|AB|²=2（xA-xB)²=15b² 所以b=1/√5
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