球体体积公式证明aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

球体体积公式证明aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
球体体积公式证明
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

球体体积公式证明aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
3分之4π×球半径

不知道你有没有学过积分
这个是高数里面对球面的区面积分算得

我们现在要求一个半径为 r 的球体体积。祖冲之说，让我们来考虑另外一个立体：我们想像一刀一刀平行地切过去，在球上我们切得一个个不同大小的圆，我们现在把这每一个圆，改换成它的外切正方形，（我们要这些正方形的边都互相平行），这样得出来的一个立体，是一层层大小不同的正方形重叠而成的，祖冲之叫它做 牟合方盖。
图1(a)
图1(b)
图1 显示了半个球和它的牟合方盖，（...

全部展开

我们现在要求一个半径为 r 的球体体积。祖冲之说，让我们来考虑另外一个立体：我们想像一刀一刀平行地切过去，在球上我们切得一个个不同大小的圆，我们现在把这每一个圆，改换成它的外切正方形，（我们要这些正方形的边都互相平行），这样得出来的一个立体，是一层层大小不同的正方形重叠而成的，祖冲之叫它做 牟合方盖。
图1(a)
图1(b)
图1 显示了半个球和它的牟合方盖，（以及一些遗留的刀痕）。一般人家中用来罩菜的纱罩，好像就是这样的半个牟合方盖。
每个圆和它的外切正方形，面积上的比例是 π:4。因此，根据上面「胖子原理」的一个明显的引申（请你将它具体地叙述一下），我们马上看出如下的体积关系：
因此你如果能求出牟合方盖的体积，你就得到了球的体积 注2 。现在就让我们来朝这个方向走。
图2(a)中 NOACB 是八分之一的牟合方盖，我们现在希望求它的体积。请注意曲线 NA 和 NB 都是半径为 r 的圆的部份：它们上面的点，是每刀所截的圆与其外切正方形的相切点，所以这些点都在我们的球上。但是 NC 却不是：它是每个正方形尖端的轨迹。（又 ON=r 而 ）。
图2(a)
图2(b)
我们现在再要经过一番曲折。这八分之一的方盖，正好可以放在一个边长为 r 的正方盒 NGGEFACBO 中，如图2(b)。在方盒之内，但在 NOACB 之外的部份，我们暂且叫它作「盖外」。因此
现在我们来看看这个「盖外」的体积，请诸位看看图3(a)，这只是2(b)的放大，另加连拦腰一刀（刀面距底为 h）
图3(a)
图3(b)
上面所说的这一刀，从盒上斩得正方形 TUVY（面积 r2），从我们的八分之一的方盖上，斩得正方形 TXYZ（为什麼是正方形？）假如这个正方形边长是 x，那麼因为 OX=r,OT=h,XT=x, 再加上这一刀是垂直於 ON 的，所以毕氏定理告诉我们
r2-x2=h2
也就是说，距底面为刀的这一刀，从「盖外」所斩得的面积 XYYZWVU 的面积)，恰好是 h2。
最後一个重要的观察：下图4中的立体，身高为 r，每一垂直於 EC，距 C 点为 h 高的截面，是一个边长为 h 的正方形。（所以 CEF 和 CEG 是等腰直角三角形，但 CNG 和 CNF 不是）。这个立体，在我国古书中称作阳马。
图 4
图 5
为什麼叫阳马我不知道。根据上一段的观察，（「胖子原理」又一次上阵），我们马上可以知道
因此我们只要能求出阳马的体积就成了。这一点，我们古书中早已提到过：三个同样的阳马，刚好凑成一个正方盒！这里你可能需要一点透视能力：如图 5 中的方盒，可以折成下列三个同等的阳马：
8-1234, 8-1357, 8-1256
（其中 8-1234表示以8为尖端，1234为方顶的阳马）。 你如果觉得看不清楚，不妨自己做三个阳马模型来拼拼看。
因此我们图4中阳马的体积是
从(2)、(3)两式，我们得到
最後从(1)式，我们便看出
你觉得这个证明奇妙吗？数学中常有这类的情形发生：要求的东西，一时无法求出，但动动脑筋，有时可以找到一个有关联而又可求的新东西出来。这个过程，我们上面用了两次： 球→牟合方盖一次，盖外→阳马又一次。

收起

球的面积公式: S球=4π r^2
附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵)
1．球的体积公式的推导
基本思想方法：
先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割．
用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．
（2）第二步：求近似和． ...

全部展开

球的面积公式: S球=4π r^2
附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵)
1．球的体积公式的推导
基本思想方法：
先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割．
用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．
（2）第二步：求近似和．
每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．
（3）第三步：由近似和转化为精确和．
当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．
（具体过程见课本）
2．定理：半径是 的球的体积公式为： ．
3．体积公式的应用
求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．
球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的 倍（即球体对角钱的一半）；棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ，外接球半径为 ．
也可以用微积分来求，不过不好写
======================================================================
球体面积公式:
可用球的体积公式+微积分推导
定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^

收起