一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个顶点A1（-a,0) A2（a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:20:08
一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个顶点A1（-a,0) A2（a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
一道椭圆的证明题
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个顶点A1（-a,0) A2（a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
一道椭圆的证明题椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的两个顶点A1（-a,0) A2（a,0)与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1 与A2P2交点的轨迹方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1
设P1、P2点的坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1),A1P1 的直线方程为：y=y1x/(x1+a)+ay1/(x1+a),A2P2的直线方程为：y=-y1x/(x1-a)+ay1/(x1-a),解得：y1=ay/x,x1=a²/x,代入x²/a²+y²/b²=1得：x²/a²-+y²/b²=1.
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设P1(m，n)，则P2(m,-n)，设A1P1 与A2P2交点M(x,y)
由于A，P1，M共线，得 (y-0)/(n-0)=(x+a)/(m+a)，即
(x+a)n=(m+a)y (1)
由于B，P2，M共线，得 (y-0)/(-n-0)=(x-a)/(m-a)，即
(x-a)n=(a-m)y ...
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设P1(m，n)，则P2(m,-n)，设A1P1 与A2P2交点M(x,y)
由于A，P1，M共线，得 (y-0)/(n-0)=(x+a)/(m+a)，即
(x+a)n=(m+a)y (1)
由于B，P2，M共线，得 (y-0)/(-n-0)=(x-a)/(m-a)，即
(x-a)n=(a-m)y (2)
(1)+(2)，得2xn=2ay，n=ay/x
(1)-(2)，得2an=2my，m/a=n/y=a/x
又P1在椭圆上，有 m²/a²+n²/b²=1，
所以 a²/x²+a²y²/x²b²=1
a²+a²y²/b²=x²，1+y²/b²=x²/a²
所以轨迹方程是 x²/a²-y²/b²=1
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