一道椭圆的题...求简便的解法~已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,直线y=x/2+1与椭圆相较于A、B两点,点M在椭圆上,OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量,求椭圆的方程

一道椭圆的题...求简便的解法~已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,直线y=x/2+1与椭圆相较于A、B两点,点M在椭圆上,OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量,求椭圆的方程
一道椭圆的题...求简便的解法~
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,直线y=x/2+1与椭圆相较于A、B两点,点M在椭圆上,OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量,求椭圆的方程

一道椭圆的题...求简便的解法~已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,直线y=x/2+1与椭圆相较于A、B两点,点M在椭圆上,OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量,求椭圆的方程
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2=e=c/a
可设a=2m,则c=(√3)m,b=m,椭圆标准方程为：
x^2/4m^2+y^2/m^2=1
联立直线与椭圆方程得：x^2+4(x/2+1)^2=4m^2
化简得：x^2+2x+2-2m^2=0
设AB点坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则：y1=x1/2+1；y2=x2/2+1
x1+x2=-2,得：y1+y2=-2/2+2=1
x1*x2=2-2m^2,得：y1y2=(2-2m^2)/4-2/2+1=(1-m^2)/2
x1^2+x2^2=4m^2,得：y1^2+y2^2=m^2
OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量,则：
xm^2={(x1/2)+(√3/2)x2}^2
=(x1^2+x2^2)/4+√3*x1*x2/2+x2^2/2
=m^2+√3(1-m^2)+x2^2/2
ym^2={(y1/2)+(√3/2)y2}^2
=(y1^2+y2^2)/4+√3*y1*y2/2+y2^2/2
=m^2/4+√3(1-m^2)/4+y2^2/2
M在椭圆上,所以：
xm^2+4ym^2=4m^2,代入得：
{m^2+√3(1-m^2)+x2^2/2}+4{ m^2/4+√3(1-m^2)/4+y2^2/2}=4m^2
≡{m^2+√3(1-m^2)+m^2+√3(1-m^2)}+{x2^2/2+2y2^2}=4m^2
≡2m^2+2√3(1-m^2)+2m^2=4m^2 【{x2^2/2+2y2^2}=2m^2】
≡2√3(1-m^2)=0
解得：m^2=1
所以椭圆方程为：x^2/4+y^2=1

用矢量，内积为0
根据条件就可以了
P,Q的坐标用(x1,-x1-1),(x2,-x2-1)
则x1x2+x1x2+x1+x2+1=0.....(*)
a^2=2c^2,b^2=c^2
x1^2/2c^2+y1^2/c^2=1.....(1)
x2^2/2c^2+y2^2/c^2=1......(2)
(2)-(1)
...

全部展开

用矢量，内积为0
根据条件就可以了
P,Q的坐标用(x1,-x1-1),(x2,-x2-1)
则x1x2+x1x2+x1+x2+1=0.....(*)
a^2=2c^2,b^2=c^2
x1^2/2c^2+y1^2/c^2=1.....(1)
x2^2/2c^2+y2^2/c^2=1......(2)
(2)-(1)
(x1^2-x2^2)/2c^2+(y1+y2)(y1-y2)/c^2=0
(x1^2-x2^2)/2c^2+(-x1-x2-2)(x2-x1)/c^2=0....(3)
由(*),(3)
((x1-x2)(1.5(x1+x2)+2))/c^2=0
即：(x1-x2)(1.5(x1+x2)+2)=0.....(4)
由（*)和（4）
（0.5-3x1x2)(x1-x2)=0
显然x1!=x2
x1x2=1/6,x1+x2=-4/3
(1)+(2)
(x1^2+x2^2)/2c^2+(y1^2+y2^2)/c^2=2
((x1+x2)^2-2x1x2)/2c^2+((-x1-x2-2)^2-2(x1+1)(x2+1))/c^2=2
即：
(16/9-1/3)/2c^2+((4/3-2)^2-2(1/6-4/3+1))/c^2=2
即：
(13/18c^2+14/18c^2=2
c^2=3/4
a^2=3/2,b^2=3/4
椭圆x^2/(3/2)+y^2/(3/4)=1

收起

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2，直线y=x/2+1与椭圆相较于A、B两点，点M在椭圆上，OM向量=OA向量/2+(√3/2)OB向量，求椭圆的方程