已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x）,若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整数,且n≥2,（1）求Sn.（2）a1=2/3,an=1/[(Sn+1)（Sn下一项+1）]（n≥2,n∈正整数）数列an的前n项和为Tn,若Tn＜λ（Sn的下一项+1）对一切n∈N*
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 20:43:18
已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x）,若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整数,且n≥2,（1）求Sn.（2）a1=2/3,an=1/[(Sn+1)（Sn下一项+1）]（n≥2,n∈正整数）数列an的前n项和为Tn,若Tn＜λ（Sn的下一项+1）对一切n∈N*
已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x）,若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整数,且n≥2,（1）求Sn.
（2）a1=2/3,an=1/[(Sn+1)（Sn下一项+1）]（n≥2,n∈正整数）数列an的前n项和为Tn,若Tn＜λ（Sn的下一项+1）对一切n∈N*都成立,求λ的取值范围
已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x）,若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整数,且n≥2,（1）求Sn.（2）a1=2/3,an=1/[(Sn+1)（Sn下一项+1）]（n≥2,n∈正整数）数列an的前n项和为Tn,若Tn＜λ（Sn的下一项+1）对一切n∈N*
1、
f(k/n)=1/2+log2[(k/n)/(1- k/n)]=1/2+log2[k/(n-k)]
∴f(1/n)=1/2+log2[1/(n-1)],f(2/n)=1/2+log2[2/(n-2)],f(3/n)=1/2+log2[3/(n-3)]……
Sn=1/2+log2[1/(n-1)]+1/2+log2[2/(n-2)]+1/2+log2[3/(n-3)]+……+1/2+log2{(n-1)/[n-(n-1)]}
=(n-1)/2+log2[1/(n-1)]+log2[2/(n-2)]+log2[3/(n-3)]+……+log2{(n-1)/[1]}
=(n-1)/2+log2{[1/(n-1)]*[2/(n-2)]*[3/(n-3)]……*[(n-1)/1]}
=(n-1)/2+log2(1)
=(n-1)/2
2、
an=1/[(Sn+1)·(S(n+1)+1)]
Sn+1=(n+1)/2 S(n+1)+1=n/2+1=(n+2)/2
an=4/(n+1)(n+2)
Tn
= 2/3 + 4/(3*4) + 4/(4*5) + …… + 4/(n+1)(n+2)
=4/(2*3) + 4/(3*4) + 4/(4*5) + …… + 4/(n+1)(n+2)
=4[1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/(n+1)(n+2)]
=4[1/2 - 1/2 + 1/3-1/4+1/4-1/5……+1/(n+1)-1/(n+2)]
=4[1/2-1/(n+2)]
=2n/(n+2)
＜λ(S(n+1)+1)
=λ(n+2)/2
2n/(n+2)＜λ(n+2)/2 整理得
(n+2)²/n＞4/λ
∵(n+2)²/n=(n²+4n+4)/n = n + 4/n + 4 ≥2√(n * 4/n) + 4 =8 当且仅当n=2时,等号成立.
∴4/λ＜8
∴λ＞1/2