在平面四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 00:42:00
在平面四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证明.
在平面四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证明.
在平面四边形ABCD中,向量AD=a,向量BC=b,向量CD=c,向量DA=d,若a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形是什么图形,且证明.
因为平面四边形ABCD
所以AB//CD,BC//AD
所以向量a=-向量c
因为a*b=b*c
所以b*(a-c)=0
b*a=0
所以b垂直于a
同理b垂直于c
c垂直于d
d垂直于a
所以 四边形是矩形
分析：由向量的模相等，证明四边形边相等，由a•b＝0，即a⊥b，知 ⊥ ，即可判定四边形ABCD的形状。
解析：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，即a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－（c＋d），
从而（a＋b）2＝（c＋d）2，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2cd＋d2，
又a•b＝c•d，故a2＋b2＝c2＋d2，（1）
同理，a2＋...
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分析：由向量的模相等，证明四边形边相等，由a•b＝0，即a⊥b，知 ⊥ ，即可判定四边形ABCD的形状。
解析：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，即a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－（c＋d），
从而（a＋b）2＝（c＋d）2，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2cd＋d2，
又a•b＝c•d，故a2＋b2＝c2＋d2，（1）
同理，a2＋d2＝c2＋b2， （2）
由（1）（2）得a2＝c2，b2＝d2，即｜a｜＝｜c｜，｜b｜＝｜d｜
亦即AB＝CD，BC＝DA，
又a•b＝b•c＝－a•b，∴a•b＝0，即a⊥b，
∴ ⊥ ，四边形ABCD是矩形。
〔点评〕解决本题时，充分利用问题的隐含条件a＋b＋c＋d＝0非常关键，若对这个隐含条件视而不见，仅以a•b＝b•c＝c•d＝a•d入手，将难以找到解题的突破口，通过本题的学习，我们可以看到平面向量的数量积在处理线段长度，线线垂直等问题上的优势。
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