在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点(1)求证：PB⊥PC(2)若AB=2,CD=4,M为BC边上点,且AM⊥MD,求BM的长(3)设AM与BP交于点E,DM与CP交于点F,在（2）的条
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 13:25:32
在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点(1)求证：PB⊥PC(2)若AB=2,CD=4,M为BC边上点,且AM⊥MD,求BM的长(3)设AM与BP交于点E,DM与CP交于点F,在（2）的条
在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点
在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点
(1)求证：PB⊥PC
(2)若AB=2,CD=4,M为BC边上点,且AM⊥MD,求BM的长
(3)设AM与BP交于点E,DM与CP交于点F,在（2）的条件下,四边形PEMF是否为矩形?若是,请证明；若不是,请说明理由
最好不要用相似,关键步骤最好有理由或者前面有已证明的条件,
在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点在梯形ABCD中,AB//CD,AB⊥BC,AB+DC=BC,点P是AD的中点(1)求证：PB⊥PC(2)若AB=2,CD=4,M为BC边上点,且AM⊥MD,求BM的长(3)设AM与BP交于点E,DM与CP交于点F,在（2）的条
1、延长PC交AB的延长线于G
容易得到△APG≌△DPC（AAS或ASA）,则AG=DC,PG=PC
因此BG=AB+AG=AB+DC=BC,且P为GC中点,进而得出BG⊥GC（三线合一）
故PB⊥PC
2、过A向DC作垂线,易得AD=2√10（为了第三问看得更清楚就不在图中作了）
那么AM^2+DM^2=AD^2=40（记为1式）
设BM=x,则CM=6-x.则AM^2=x^2+4,DM^2=（6-x）^2+16
将它们代入1式解得x=2或4,因此BM=2或4
3、若BM=2时（此图就是BM=2的情况）
此时△ABM为等腰直角三角形（AB=BM=2）,则∠BMA=45°
由第一问可知BP为∠ABM的平分线（三线合一）,则∠MBE=45°
因此∠MEP=∠BEM=90°,又AM⊥DM,PB⊥PC,那么∠BPC=∠AMD=90°
故四边形PEMF为矩形
若BM=4时
因为∠BMA+∠BAM=90°,∠BMA+∠CMD=90°,则∠BAM=∠CMD
且BM=CD=4,那么△BAM≌△CMD,则AM=MD,进而∠MAD=45°
因为∠DAB≠90°,那么∠BAM≠45°,且∠ABP=45°,故∠PEM=∠AEB≠90°
因此此时不可能为矩形