如图 在△ABC中 AB=AC P为BC 上一点 PD ⊥AC于D PM⊥AB于M BN为高 求证PD+PM=BN
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 17:27:31
如图 在△ABC中 AB=AC P为BC 上一点 PD ⊥AC于D PM⊥AB于M BN为高 求证PD+PM=BN
如图 在△ABC中 AB=AC P为BC 上一点 PD ⊥AC于D PM⊥AB于M BN为高 求证PD+PM=BN
如图 在△ABC中 AB=AC P为BC 上一点 PD ⊥AC于D PM⊥AB于M BN为高 求证PD+PM=BN
证明:连AP,
△ABP面积=(1/2)*AB*PM
△ACP面积=(1/2)*AC*PD
△ABC面积=(1/2)*AC*BN
因为三角形面积不变,
所以△ABC面积=△ABP面积+△ACP面积
即(1/2)*AC*BN=(1/2)*AB*PM+(1/2)*AC*PD=(1/2)*AC*(PD+PM)
整理:得PD+PM=BN
做CE⊥AB与点E
∵PD⊥AC,PN⊥AC,∴PD∥BN,∴△PCD∽△BCN
∴PD/BN=PC/BC,PD=PC·BN/BC
∵PM⊥AB,CE⊥AB,∴PM∥CE,∴△BPM∽△BCE
∴PM/CE=BP/BC,PM=BP·CE/BC
∵S△ABC=1/2CE·AB=1/2BN·AC,AB=AC,∴CE=BN
∵PD+PM=PC·BN/BC+...
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做CE⊥AB与点E
∵PD⊥AC,PN⊥AC,∴PD∥BN,∴△PCD∽△BCN
∴PD/BN=PC/BC,PD=PC·BN/BC
∵PM⊥AB,CE⊥AB,∴PM∥CE,∴△BPM∽△BCE
∴PM/CE=BP/BC,PM=BP·CE/BC
∵S△ABC=1/2CE·AB=1/2BN·AC,AB=AC,∴CE=BN
∵PD+PM=PC·BN/BC+BP·CE/BC=PC·BN/BC+BP·BN/BC=BN/BC(PC+PB)=BN
∴PD+PM=BN
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