如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC明天就要用到了,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:33:29
如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC明天就要用到了,
如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC
明天就要用到了,
如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,求证:AB²-AP²=PB×PC明天就要用到了,
本题可通过构建直角三角形求解,作BC边上的高AF;可在Rt△ABF和Rt△APF中,分别用勾股定理表示出AF的长,联立两式即可求得所证的结论.
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过A作AF⊥BC于F.
在Rt△ABF中,AF²=AB²-BF²;
在Rt△APF中,AF²=AP²-FP²;
则AB²-BF²=AP²-FP²;
即AB²-AP²=BF²-FP²=(BF+FP)(BF-FP);
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=FC(三线合一);
∴BF+FP=CF+FP=PC,BF-FP=BP;
∴AB²-AP²=BP•PC.
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证明:设P为BC上任意一点,作AD⊥BC 根据勾股定理得: AP^2=AD^2+BD^2 因为AB=AD,AD⊥BC 所以根据“三线合一”性质得BD=CD 所以PB*PC=(BD-PD)(CD+BD) =(BD-PD)(BD+PD) =BD^2-PD^2 所以 AP^2+PB*PC =AD^2+BD^2+BD^2-PD^2 =AD^2+BD^2 因为由勾股定理得: AD^2+BD^2=AB^2 所...
全部展开
证明:设P为BC上任意一点,作AD⊥BC 根据勾股定理得: AP^2=AD^2+BD^2 因为AB=AD,AD⊥BC 所以根据“三线合一”性质得BD=CD 所以PB*PC=(BD-PD)(CD+BD) =(BD-PD)(BD+PD) =BD^2-PD^2 所以 AP^2+PB*PC =AD^2+BD^2+BD^2-PD^2 =AD^2+BD^2 因为由勾股定理得: AD^2+BD^2=AB^2 所以AB^2-AP^2=PB*PC
收起
作AD⊥BC于D,则
AB²=AD²+BD²
AP²=AD²+PD²
∴AB²-AP²=BD²-PD²
=(BD+PD)(BD-PD)
∵AB=AC
∴BD=CD
∴BD+PD=CD+PD=PC
∵BD-PD=PB
∴:AB²-AP²=PB×PC