如图,四边形ABCD的对角线交于点O,三角形BOC的面积为9,三角形AOD面积为25,求四边形ABCD面积最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:34:06
如图,四边形ABCD的对角线交于点O,三角形BOC的面积为9,三角形AOD面积为25,求四边形ABCD面积最小值
如图,四边形ABCD的对角线交于点O,三角形BOC的面积为9,三角形AOD面积为25,求四边形ABCD面积最小值
如图,四边形ABCD的对角线交于点O,三角形BOC的面积为9,三角形AOD面积为25,求四边形ABCD面积最小值
2×9+2×25=68
可能吧,我不太确定
设AO=a,BO=b,CO=c,DO=d,∠AOD=∠BOC=∠1,∠AOB=∠COD=∠2，
由已知得:
0.5*a*d*sin∠1=25
0.5*b*c*sin∠1=9
即0.5*d*sin∠1=25/a,0.5*b*sin∠1=9/c
SΔAOB+SΔCOD=0.5*a*b*sin∠2+0.5*c*d*sin∠2
因为∠1+∠2=180°
全部展开
设AO=a,BO=b,CO=c,DO=d,∠AOD=∠BOC=∠1,∠AOB=∠COD=∠2，
由已知得:
0.5*a*d*sin∠1=25
0.5*b*c*sin∠1=9
即0.5*d*sin∠1=25/a,0.5*b*sin∠1=9/c
SΔAOB+SΔCOD=0.5*a*b*sin∠2+0.5*c*d*sin∠2
因为∠1+∠2=180°
所以
SΔAOB+SΔCOD=0.5*a*b*sin∠1+0.5*c*d*sin∠1
=a*9/c+c*25/a≥2√(9*25)=30
所以四边形ABCD面积的最小值=9+25+30=64
其中用到了公式A+B≥2√(AB) （1）
该公式推导很简单，用完全平方式A-2√(AB)+B≥0即可。
还有另一种方法，
SΔAOB*SΔCOD＝0.5*a*b*sin∠1*0.5*c*d*sin∠1＝SΔAOD*SΔBOC＝9*25
同样利用公式（1），有
SΔAOB+SΔCOD≥2√(SΔAOB+SΔCOD）＝2*√(9*25）＝30
所以四边形ABCD面积的最小值=9+25+30=64
收起