卡尔松不等式是什么
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 00:36:23
卡尔松不等式是什么
卡尔松不等式是什么
卡尔松不等式是什么
(a1+b1)*(a2+b2)*...*(an+bn)>=（(a1*a2*...*an)的n次方根＋（b1*b2*...*bn)的n次方根)^n
(a1+b1)*(a2+b2)*...*(an+bn)>=（(a1*a2*...*an)的n次方根＋（a1*a2*...*an)的n次方根)^n
一、由两个简单实例引出的猜想
1、两个简单实例
（1）设 ，有 ；
（2）设 ，有 。
结构特征：两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。
2、猜想
给定两组实数： ， ，
是否有 （*）...
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(a1+b1)*(a2+b2)*...*(an+bn)>=（(a1*a2*...*an)的n次方根＋（a1*a2*...*an)的n次方根)^n
一、由两个简单实例引出的猜想
1、两个简单实例
（1）设 ，有 ；
（2）设 ，有 。
结构特征：两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。
2、猜想
给定两组实数： ， ，
是否有 （*）成立呢？
3、猜想的证明
分析：从（*）结构上分析，若两边同乘以4，有
，
类似于一元二次函数的判别式 ，故可构造一元二次函数来证明。
证明：
（1）若 全为0，则结论显然成立；
（2）若 不全为0，则 ， 为首项系数大于0的一元二次函数，并且 ，故 的判别式
，即
显然，当且仅当 时等号成立。
二、柯西不等式
1、定理（柯西不等式）
给定两组实数
；
有 ，（*）
等号当且仅当 时成立。
2、柯西主要贡献简介
柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家。他奠定了数学分析的理论基础。很多定理都冠有柯西的名字，如以前学过的柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程。
3、定理另证
分析2：注意到 是 维向量 模 的平方；
是 维向量 模 的平方；
而 恰好是向量 内积的平方，因此可以借助于我们在空间解析几何的向量内积的知识加以解决。
另证：构造 维向量
维向量
则 ； ；
由 ，即
显然，当 ，即 与 共线，
亦即等号当且仅当 时成立。
三、柯西不等式的积分形式
设 与 都在 可积，
则 ，
等号当且仅当 时成立。
结论：柯西积分不等式是柯西不等式的推广。
四、二维柯西不等式的认识
中学数学主要是在二维平面和三维空间中讨论问题，为了应用柯西不等式解决中学数学中的具体问题。我们有必要对柯西不等式的低维形式——二维柯西不等式进行再认识。
二维柯西不等式
等号当且仅当 时成立。
请大家思考除了将二维柯西不等式看成一元二次函数的判别式和向量的模两种认识以外，是否有其他的认识呢？下面请大家按以前的研究性学习小组进行研究。如果在研究过程中有问题，可以参考我给出的提示语。
提示语：可以根据变形后的结构特征进行联想！
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