卡尔松不等式等号成立条件

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/02 01:03:05

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卡尔松不等式等号成立条件
卡尔松不等式等号成立条件

卡尔松不等式等号成立条件
m×n的非负实数矩阵中,n列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中m行每行元素的几何平均值之和.
符号语言即：(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*) 　　注：“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,x,y,…表示各行的名称,共m个.证明记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)＋…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)＋…
即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)＋…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n,
因此,不等式(1')成立.
特别地,当n=2时,不等式(1')即为柯西不等式.

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