设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数,求实数a的取值范围.（2）若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 15:37:52
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数,求实数a的取值范围.（2）若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R
（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数,求实数a的取值范围.
（2）若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]上.
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数,求实数a的取值范围.（2）若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在
很简单
(1)对于函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
其一次导函数为f'(x)=(ax-1)/(x+1)
二次导函数为f''(x)=(a+1)/(x+1)²
易知
当a>-1时,f'(x)单调递增,所以只需要f'(x)≥f'(2)≥0即可
解得a≥1/2
当a≤0时,f'(x)单调递减,当x→+∞时,limf'(x)=a≥0,只能有a=0
但代入a=0,f(x)=-ln(x+1),单调递减,与题设矛盾,故舍去
所以a≥1/2时候,f在[2,+∞)单调递增
(2)如果在f(x)上过两点的切线垂直,则设这两点为(x1,y1),(x2,y2)
则f'(x1)*f'(x2)=-1
又a=1,则f'(x)=(x-1)/(x+1),f(x)=x-2ln(x+1)
代入上式整理得到：x1*x2=-1
根据两切点的横坐标必须居于区间[-1/2,2]
则若x1>-1/2,则x2>2,同理,x2
f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
[2,正无穷)上为单调增函数。
则可知当x=2时，f'(x)=a-(a+1)/(x+1)>=0即可
所以
a-(a+1)/(2+1)>=0
a>=1/2
若a=1，则
过这点的切线斜率为：
1-2/(x1+1)，1-2/(x2+1)
这两点为切点的切线互相垂直
则[1-2/(x1...
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f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
[2,正无穷)上为单调增函数。
则可知当x=2时，f'(x)=a-(a+1)/(x+1)>=0即可
所以
a-(a+1)/(2+1)>=0
a>=1/2
若a=1，则
过这点的切线斜率为：
1-2/(x1+1)，1-2/(x2+1)
这两点为切点的切线互相垂直
则[1-2/(x1+1)]*[1-2/(x2+1)]=-1
则：x1x2=-1
而两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]。所以
可求得只有x=-1/2，x=2。（当x1从-1/2增加时，另一根x2将超过2.）
收起
a<>1