实数a、b满足不等式││a│-(a-b)│
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 00:15:05
实数a、b满足不等式││a│-(a-b)│
实数a、b满足不等式││a│-(a-b)│
实数a、b满足不等式││a│-(a-b)│
两边平方,得 a² －2│a│·(a－b)＋(a－b)² ＜a² －2a·│a＋b│＋(a＋b)²
展开整理得,a·│a＋b│－│a│·(a－b)＜2ab
若a＝0,则上式等价于 0＜0 ,显然不成立
若b＝0,则上式仍等价于 0＜0 ,显然也不成立
这说明a、b都不为0
下面开始进行分类讨论：
①若a＞0,b＞0,上式等价于a·(a＋b)－a·(a－b)＜2ab,展开即2ab＜2ab,显然不成立
②若a＜0,b＜0,上式等价于a·(－a－b)＋a·(a－b)＜2ab,展开即－2ab＜2ab,
也就是 4ab＞0,由于a＜0,b＜0,所以 4ab＞0成立,这说明此情况可取
③若a＜0,b＞0,由于含有│a＋b│,无法定号,所以需要进行更细致的分类.
1.如果a＜0,b＞0且a＋b ≥ 0,则上式等价于a·(a＋b)＋a·(a－b)＜2ab,展开即2a²＜2ab,
两边除以2a(要变号),也就是 a＞b,负数不可能比正数大,所以此情况不合理
2.如果a＜0,b＞0且a＋b ＜ 0,则上式等价于a·(－a－b)＋a·(a－b)＜2ab,
展开即－2ab＜2ab,也即4ab＞0,一正一负相乘,不可能大于0,所以不可取
④若a＞0,b＜0,由于含有│a＋b│,无法定号,仍需要进行更细致的分类.
1.如果a＞0,b＜0且a＋b ≥ 0,则上式等价于a·(a＋b)－a·(a－b)＜2ab,展开即2ab＜2ab,
任何一个数不可能比自己小,所以此情况不合理
2.如果a＞0,b＜0且a＋b ＜ 0,则上式等价于a·(－a－b)－a·(a－b)＜2ab,
展开即－2a²＜2ab,两边同除以2a,得－a＜b,也就是a＋b ＞ 0,而这种情况下,我们的前提是a＋b ＜ 0,这显然矛盾,所以也不可取
综上所述,a＜0,b＜0
a为-，b为-
用排除法做？
∵a≤|a|≤|a+b|
∴||a|-(a-b)|<|a+b|-a
若a≥0，|b|<|a+b|-a,|b|+a<|a+b|
而|a+b|≤|a|+|b|=|b|+a,故矛盾
∴a<0
∴|2a-b|<|a+b|-a
即|2a-b|+a<|a+b|
若b>0,则-2a+b+a<|a+b|,b-a<|a+b|,而b-a=|b-a|=|b|+|a|>|a+b|
故矛盾
∴b<0.
综上,a<0,b<0