在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?用排序不等式求解!

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 23:06:12
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在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?用排序不等式求解!
在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?
在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?
用排序不等式求解!

在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?用排序不等式求解!
原式=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinA（1+cosB）+sinB(1+cosA)=sinA*2(cosB/2)^2+sinB*2(cosA/2)^2=4sinA/2 * cosB/2 * 2(cosB/2)^2+4sinB/2 * cosB/2 * 2(cosA/2)^2=4cosB/2 * cosA/2(sinA/2 * cosB/2+cosA/2 * sinA/2)=4cosB/2 * cosA/2 * sin(A/2+B/2)=4cosB/2 * cosA/2 * sin(π/2-C/2)=4cosB/2 * cosA/2 * cosC/2≤4〔(cosC/2+cosA/2+cosB/2)/3〕^3
当A=B=C=60°时
原式取最大值(3/2)根号3

sinA+sinB+sinC=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sinC/2cosC/2
=2cosC/2cos(A-B)/2+2cos(A+B)/2cosC/2
=2cosC/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)
=4cosC/2cosA/2cosB/2
≤4〔(cosC/2+cosA/2+cosB/2)/3〕^3
当且仅当cosC/2=cosA/2=cosB/2时取等号。
所以A=B=C=60
所以：最大值为：(3/2)根号3

我只知道当ABC都是60度时最大，值为2分之3根号3
过程不清楚哎

这道题我老师讲过，不过他是这么说的。
上凸曲线有一个性质：（F(X1)+F（X2））/2小于等于F((X1+X2)/2)
在X（0，π）时，sinX为上凸曲线
所以（sinA+sinB+sinC）/3小于等于sin((A+B+C)/3)等于sin60等于根号3除以2

在△ABC中,若(sinA+sinC)(sinA-sinC)=sinB(sinA-sinB),则C= 证明在△ABC中.sinA/(sinB+sinC)+sinB/（sinC+sinA）+sinC/(sinA+sinB)＜2证明 在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3,a 在△ABC中,求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0 在△ABC中,若(sinA+sinB+sinC)×(sinA+sinB-sinC)=3sinA×sinC,求C 在△ABC中,计算a(SinB-SinC)+b(SinC-SinA)÷c(SinA-SinB)的值 在△ABC中若(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4/5/6则最大角 在三角形ABC中 a(sinB-sinC)+b(sinC+sinA)+c(sinA-sinB) 的值 在三角形ABC中,已知（sinA+sinB+sinc)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB,a 在三角形ABC中,(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC, 在三角形ABC中若(SINA)(SINA)=(SINB)(SINB)+(SINB)(SINC)+(SINC)(SINC),则角A为多少 在△ABC中,求证sinA平方+sinB平方-sinC平方=2sinAsinBcosC(2)sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2 在△ABC中,sinA:sinB=3:1,求sinC：sinB的取值范围 在三角形ABC中,sinA^2+sinB^2+sinC^2 在三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinC大于2 在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?用排序不等式求解! 在△ABC中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC是什么三角形, 在△ABC中,sin*sinA+sin*sinB=sin*sinC.求证：△ABC是直角三角形.