我想问一道微积分的数学题求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分有没有一点公式去解这种类型的题THX.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 04:56:46
我想问一道微积分的数学题求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分有没有一点公式去解这种类型的题THX.
我想问一道微积分的数学题
求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分
有没有一点公式去解这种类型的题
THX.
我想问一道微积分的数学题求(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)对于x的积分有没有一点公式去解这种类型的题THX.
对于这类题需要两个技巧：
1、对被积函数进行改写
2、换元法积分
注意到这个被积函数的分母是cosx+sinx,如果设成u的话,那么u'=-sinx+cosx.可以考虑把分子改写成a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx)的形式,那么这个被积函数就可以拆成两部分——一部分是常数a,可以直接积分；另一部分是b(-sinx+cosx)/(cosx+sinx),可以用换元法积分.以下是
设3cosx-sinx=a(cosx+sinx)+b(-sinx+cosx),求得a=1,b=2.
则(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)=1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)
所以原积分=∫1+2(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=∫1dx+2∫(-sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx
=x+2ln|cosx+sinx|+C
楼上复杂了
3cosx-sinx=2(cosx-sinx)+(cosx+sinx)
一步能解
d(sinx+cosx)=cosx-sinx
半角公式也快，记u=tan(x/2)
没有什么特别的一步到位的方法，基本方法如下：
3cosx - sinx = cosx - sinx + 2cosx
cosx = cos(x-π/4+π/4)
= cos(x-π/4)cos(π/4)-sin(x-π/4)sin(π/4)
cosx + sinx = sin(π/2-x) + sinx
= 2sin(π/4)...
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没有什么特别的一步到位的方法，基本方法如下：
3cosx - sinx = cosx - sinx + 2cosx
cosx = cos(x-π/4+π/4)
= cos(x-π/4)cos(π/4)-sin(x-π/4)sin(π/4)
cosx + sinx = sin(π/2-x) + sinx
= 2sin(π/4)cos(π/4-x)
∫(3cosx-sinx)/(cosx+sinx)dx
=∫(cosx-sinx+2cosx)/(cosx+sinx)dx
=∫(cosx-sinx)/(cosx+sinx)dx + ∫2cosx/(cosx+sinx)dx
=∫d(sinx+cosx)/(cosx+sinx)dx +
∫2[cos(x-π/4)cos(π/4)-sin(x-π/4)sin(π/4)]/2sin(π/4)cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C
∫[cos(x-π/4)-sin(x-π/4)]/cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C+
∫[cos(x-π/4)/cos(π/4-x)dx-∫[sin(x-π/4)]/cos(π/4-x)dx
=ln|cosx+sinx|+C+
∫dx-∫[sin(x-π/4)]/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+C-∫[sin(x-π/4)]/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+C+∫dcos(x-π/4)/cos(x-π/4)dx
=ln|cosx+sinx|+x+ln|cos(x-π/4)|+C
收起
主要是这个思路，这是一种题型