证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:38:13
证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”
因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
证明是否存在函数,满足：“处处可导,但导函数处处不连续的”因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
结论是否定的.事实上,闭区间I上可导函数的导函数的连续点集必然是I上的稠密集!
可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：
首先,记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)],则f_n是连续函数.由于f处处可导,对每个x∈I, f_n(x)->f‘(x). 这样f'就是一个连续函数列的极限函数.
然后用实变里常用的分割集合的技术,可以证明：f'的不连续点集包含于一列无内点闭集的并（从而是第一纲集）.因此f'的连续点集包含一列稠密开集的交,也是稠密集.
一个连续函数处处可导，而它的导函数不一定连续
例如分段函数 f(x)
当x=0时，函数值为0
当x≠0时，函数f(x)=x^2*sin(1/x)
其导数 g(x)显然x≠0时，g(x)=f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)；g(0)=f'(0)=0（利用定义可以求解，这里过程略）但是g(x)在x=0处显然不连续（按照定义判断吧，x=0处的左右极限均不存...
全部展开
一个连续函数处处可导，而它的导函数不一定连续
例如分段函数 f(x)
当x=0时，函数值为0
当x≠0时，函数f(x)=x^2*sin(1/x)
其导数 g(x)显然x≠0时，g(x)=f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)；g(0)=f'(0)=0（利用定义可以求解，这里过程略）但是g(x)在x=0处显然不连续（按照定义判断吧，x=0处的左右极限均不存在）
导函数处处不连续的就不知道，是不是有这样的函数一定满足
收起