一道高中椭圆几何题设A为 (x方/a方)+(y方/b方)=1 (a>b>0) 长轴顶点 若椭圆上有一点P 使得AP⊥OP 求离心率e范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 21:34:45
一道高中椭圆几何题设A为 (x方/a方)+(y方/b方)=1 (a>b>0) 长轴顶点 若椭圆上有一点P 使得AP⊥OP 求离心率e范围
一道高中椭圆几何题
设A为 (x方/a方)+(y方/b方)=1 (a>b>0) 长轴顶点
若椭圆上有一点P 使得AP⊥OP 求离心率e范围
一道高中椭圆几何题设A为 (x方/a方)+(y方/b方)=1 (a>b>0) 长轴顶点 若椭圆上有一点P 使得AP⊥OP 求离心率e范围
点P(x,y)显然也在以OA为直径的圆上,即
x²-ax+y²=0;
得y²=ax-x²,代入椭圆方程得
x²/a²+(ax-x²)/b²=1
上述方程有一已知解x=a,移项分解后除去因子(x-a)得
x/a²+1/a-x/b²=0
得另一解为x=ab²/(a²-b²)
点P要存在,则当且仅当0
设P(x,y),且(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0) A(a,0)
连接OAP三点,并过P做OA垂线,交OA于B点,
若三角形OAP为直角三角形,则OBP和BAP相似
->BP^2=OB*AB;
->y^2=x*(a-x);
->x^2-a*x+y^2=0;
->只要
(x-a/2)^2+y^2=a^2/4------...
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设P(x,y),且(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0) A(a,0)
连接OAP三点,并过P做OA垂线,交OA于B点,
若三角形OAP为直角三角形,则OBP和BAP相似
->BP^2=OB*AB;
->y^2=x*(a-x);
->x^2-a*x+y^2=0;
->只要
(x-a/2)^2+y^2=a^2/4------以(a/2,0)为圆心半径为a/2的圆
和(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1---以(0,0)为心的椭圆,有交点就行
只要圆心到椭圆的距离小于a/2就行,由于 圆过A点,且直径=a>椭圆短轴b
所以必定相交....所以e没有限制..
收起
称离心率为e，设P的坐标为(a cosA, b sinA)，则AP⊥OP推出
a^2 (sinA)^2
--- = ---------------
b^2 cosA - (cosA)^2
而e^2 = (a^2-b^2)/a^2，所以e = 1-(cosA - (cosA)^2)/(sinA)^2 = 1/(1+cosA)，于是e大于等于根号0.5