已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/20 10:58:41
已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.
已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.
已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.
P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=t,则
PF1^2+PF2^2=t^2+(2a-t)^2=2t^2-4at+4a^2
=2(t-a)^2+2a^2,∈[2a^2,4a^2]
由余弦定理,4c^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2
∴PF1*PF2=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/2,
它的最大值为（4a^2-4c^2)/2=2b^2,
最小值为（2a^2-4c^2)/2=2b^2-a^2.
不妨设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，
则F1（-c，0），F2（c，0），其中 c^2=a^2-b^2 。
设P（acosθ，bsinθ），则
PF1*PF2=（-c-acosθ，-bsinθ）*（c-acosθ，-bsinθ）
=[(acosθ)^2-c^2]+(bsinθ)^2
=(b^2+c^2)(cosθ)^2+b^2(sinθ)...
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不妨设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，
则F1（-c，0），F2（c，0），其中 c^2=a^2-b^2 。
设P（acosθ，bsinθ），则
PF1*PF2=（-c-acosθ，-bsinθ）*（c-acosθ，-bsinθ）
=[(acosθ)^2-c^2]+(bsinθ)^2
=(b^2+c^2)(cosθ)^2+b^2(sinθ)^2-c^2
=c^2*(cosθ)^2+b^2-c^2
由此得，当 cosθ=0 时，所求值最小，为 b^2-c^2 ，
当 cosθ=±1 时，所求值最大，为 b^2 。
收起
向量PF1－向量PF2＝向量F2F1，设|PF1|＝m，|PF2|＝n,则m+n=2a，向量PF1与向量PF2乘积=x
两边平方得到m^2+n^2-2x=4c^2
x=(m^2+n^2-4c^2)/2＝(4a^2-2mn-4c^2)/2
由几何性质：当m+n为定值时，m＝n时，mn取最大值；m和n相差越大，mn越小。
所以x最小值为2b^2-a^2，最大值为b^2...
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向量PF1－向量PF2＝向量F2F1，设|PF1|＝m，|PF2|＝n,则m+n=2a，向量PF1与向量PF2乘积=x
两边平方得到m^2+n^2-2x=4c^2
x=(m^2+n^2-4c^2)/2＝(4a^2-2mn-4c^2)/2
由几何性质：当m+n为定值时，m＝n时，mn取最大值；m和n相差越大，mn越小。
所以x最小值为2b^2-a^2，最大值为b^2
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