已知半径为R的球,问内接直圆柱的底半径与高为多少时,能使圆柱的体积为最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 10:19:19
已知半径为R的球,问内接直圆柱的底半径与高为多少时,能使圆柱的体积为最大?
已知半径为R的球,问内接直圆柱的底半径与高为多少时,能使圆柱的体积为最大?
已知半径为R的球,问内接直圆柱的底半径与高为多少时,能使圆柱的体积为最大?
设圆柱的高是h 那么圆柱中心到与球面的接点的距离即为R,利用勾股定理,上底面的半径r的平方＝R的平方－h平方／4
所以圆柱体积v=П*(r平方)*h＝П*h*(R的平方－h平方／4)
可以将h看作这个式子中的变量函数,则通过变换得到v=-1/4*П*[h*(h+2R)*(h-2R)] 这里v肯定是正数,故推理得h必小于2R 所以v=1/4*П*[h*(h+2R)*(2R-h)]
根据不等式原理,上式v≤1/4*П*(h的平方＋8/3*R的平方) 所以当[h*(h+2R)*(2R-h)] = (h的平方＋8/3*R的平方)时体积才能最大
这是个三元方程,排除h为负数和0的两个答案,最后得h=根号下(20/3R的平方+1/4) +1/2
那么也可再根据勾股定理得r
容易算出h=2(R^2-r^2)^0.5,故圆柱的体积V(r)=h*pai*r^2=2*pai*r^2*(R^2-r^2)^0.5,求导V'(r)=(4pai*R^2r-6pai*r^3)/(R^2-r^2)^0.5,令V'(r)=0.得r=(2/3)^0.5*R或r=0(舍去)
所以当r=(2/3)^0.5*R，h=2*(1/3)^0.5*R,圆柱体积最大，最大体积为4*pai*3^0....
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容易算出h=2(R^2-r^2)^0.5,故圆柱的体积V(r)=h*pai*r^2=2*pai*r^2*(R^2-r^2)^0.5,求导V'(r)=(4pai*R^2r-6pai*r^3)/(R^2-r^2)^0.5,令V'(r)=0.得r=(2/3)^0.5*R或r=0(舍去)
所以当r=(2/3)^0.5*R，h=2*(1/3)^0.5*R,圆柱体积最大，最大体积为4*pai*3^0.5*R底半径是二分之根号二倍R；
高是根号二倍R
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收起
底半径是二分之根号二倍R；
高是根号二倍R
"时真"答案是不对的 ，可以跟我联系