已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、d均为向量)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 21:35:38
已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、d均为向量)已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、

已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、d均为向量)
已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、d均为向量)

已知a+b=c,a-b=d,求证:丨a丨=丨b丨等价于c⊥d,并解释其几何意义.(a、b、c、d均为向量)
利用向量的数量积有:
a+b=c;a-b=d ==> (a+b)*(a-b) = c*d
==> |a|² - |b|² = c*d
|a| = |b| |a|² - |b|² = c*d =0 c⊥d
几何意义:
以向量a,b为邻边构成的平行四边形中;a-b;和 a+b 分别是表示平行四边形的两条对角线的向量.因此等向量积的等价关系的几何意义就是:
如果平行四边形边长相等(菱形),则对角线互相垂直;反之亦然.

向量a+向量b的几何意义是以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线
向量a-向量b是平行四边形的另一条对角线
|a|=|b| 则平行四边形为菱形,所以对角线互相垂直,所以向量c⊥向量d
同理
对角线互相垂直的平行四边形为菱形
向量c⊥向量d
所以以a,b为邻边的平行四边形对角线互相垂直,所以丨a丨=丨b丨...

全部展开

向量a+向量b的几何意义是以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线
向量a-向量b是平行四边形的另一条对角线
|a|=|b| 则平行四边形为菱形,所以对角线互相垂直,所以向量c⊥向量d
同理
对角线互相垂直的平行四边形为菱形
向量c⊥向量d
所以以a,b为邻边的平行四边形对角线互相垂直,所以丨a丨=丨b丨

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菱形对角线互相垂直