关于三角形内心的运动轨迹问题如图,半径为 2 cm,圆心角为90°的扇形OAB的⌒AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在⌒AB上从点A运动到点B时,内心 I 所经过的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 13:36:37
关于三角形内心的运动轨迹问题如图,半径为 2 cm,圆心角为90°的扇形OAB的⌒AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在⌒AB上从点A运动到点B时,内心 I 所经过的
关于三角形内心的运动轨迹问题
如图,半径为 2 cm,圆心角为90°的扇形OAB的⌒AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在⌒AB上从点A运动到点B时,内心 I 所经过的路径长为
关于三角形内心的运动轨迹问题如图,半径为 2 cm,圆心角为90°的扇形OAB的⌒AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在⌒AB上从点A运动到点B时,内心 I 所经过的
以圆心为原点,OB为y轴,OA为x轴建立坐标系.
则圆弧方程：x²+y²=4(x0)
如果过点I分别作OH,HP,OP的垂线,垂足分别是C,D,E.(自己画图)
设I坐标(x,y),x0
OC=OE=-x,CH=DH=y,PD=PE=r-OE=x+2.这里线段长度要考虑x,y的正负.
xp=-OH=-(OC+CH)=x-y
yp=PH=PD+DH=x+y+2
P点在圆弧上
(x-y)²+(x+y+2)²=4
(x+1)²+(y+1)²=2
由xp0得到：x-y0
结合(x+1)²+(y+1)²=2可以求得内心轨迹是圆心为(-1,-1),半径为√2在第二象限四分之一圆弧.(自己画图然后几何知识可求得.)
所以路径长l=πd/4=π√2/2
好像得用积分做
首先先将图对称看吧，这样别扭
设P点坐标为（2cosa,2sina）,所以OI方程为y=tan(a/2),HI方程为y=-x+2cosa
联立解得I的坐标为(2sinacosa/(cosa+sina+1),2(cos^2a+cosa)/(cosa+sina+1))
化简得到（cosa+sina-1,cosa-sina+1)
所以I的长度为积分...
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好像得用积分做
首先先将图对称看吧，这样别扭
设P点坐标为（2cosa,2sina）,所以OI方程为y=tan(a/2),HI方程为y=-x+2cosa
联立解得I的坐标为(2sinacosa/(cosa+sina+1),2(cos^2a+cosa)/(cosa+sina+1))
化简得到（cosa+sina-1,cosa-sina+1)
所以I的长度为积分（0到pi/2）sqrt[(-sina+cosa)^2+(-sina-cosa)^2]da
=积分（0到pi/2）sqrt(2)da
=π√2/2
额，刚忘记求导直接积分了。
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