过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若AF=d1,BF=d2,求1/d1+1/d2的值?ecosa ep?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 04:10:48
过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若AF=d1,BF=d2,求1/d1+1/d2的值?ecosa ep?
过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若AF=d1,BF=d2,求1/d1+1/d2的值?
ecosa ep?
过椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若AF=d1,BF=d2,求1/d1+1/d2的值?ecosa ep?
c/xA=BF/AB=a/AB
AB=a*xA/c=2a^3/(a^2+c^2)
d1=AF=AB-BF=2a^3/(a^2+c^2)-a=a(a^2-c^2)/(a^2+c^2)=ab^2/(a^2+c^2)
1/d1+1/d2=(a^2+c^2)/(ab^2)+1/a=(a^2+c^2+b^2)/(ab^2)=2a^2/(ab^2)=2a/b^2
答：1/d1+1/d2=2a/b^2
a>b>0
x^2/a^2+y^2/b^2=1
F(c,0)，a^2=b^2+c^2
设B(0，b),则d2=BF=a,k(AB)=b/c,直线AB的方程为：
y=(b/c)*(x-c)
x^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2*x^2+a^2*[(b/c)*(x-c)]^2=(ab)^2
(a^2+c^2)*x^2-2ca^2*x=0
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a>b>0
x^2/a^2+y^2/b^2=1
F(c,0)，a^2=b^2+c^2
设B(0，b),则d2=BF=a,k(AB)=b/c,直线AB的方程为：
y=(b/c)*(x-c)
x^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2*x^2+a^2*[(b/c)*(x-c)]^2=(ab)^2
(a^2+c^2)*x^2-2ca^2*x=0
xA=2ca^2/(a^2+c^2)
由相似△知识，得
c/xA=BF/AB=a/AB
AB=a*xA/c=2a^3/(a^2+c^2)
d1=AF=AB-BF=2a^3/(a^2+c^2)-a=a(a^2-c^2)/(a^2+c^2)=ab^2/(a^2+c^2)
1/d1+1/d2=(a^2+c^2)/(ab^2)+1/a=(a^2+c^2+b^2)/(ab^2)=2a^2/(ab^2)=2a/b^2
答：1/d1+1/d2=2a/b^2
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证明:以左焦点为极点,X轴的正方向为极轴建立极坐标系.则椭圆方程是ρ=ep/(1-ecosa)
设过F1的弦AB的倾斜角是a.A(ρ1,a),B(ρ2,a+π）
所以，1/d1+1/d2=1/ρ1+1/ρ2=(1-ecosa)/(ep)+(1-ecos(a+π))/(ep)
=(2-ecosa+ecosa)/(ep)
=2/(ep)
...
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证明:以左焦点为极点,X轴的正方向为极轴建立极坐标系.则椭圆方程是ρ=ep/(1-ecosa)
设过F1的弦AB的倾斜角是a.A(ρ1,a),B(ρ2,a+π）
所以，1/d1+1/d2=1/ρ1+1/ρ2=(1-ecosa)/(ep)+(1-ecos(a+π))/(ep)
=(2-ecosa+ecosa)/(ep)
=2/(ep)
又p=-c+a^2/c==(a^2-c^2)/c=b^2/c
ep=c/a*b^2/c=b^2/a
所以，1/d1+1/d2=2/(b^2/a)=2a/b^2
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