椭圆X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的四个顶点a.b.c.d,若菱形abcd的内切圆恰好过焦点,求椭圆的离心率 请详细的解答
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/12 06:33:50
椭圆X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的四个顶点a.b.c.d,若菱形abcd的内切圆恰好过焦点,求椭圆的离心率 请详细的解答
椭圆X2/A2+Y2/B2=1(A>B>0)的四个顶点a.b.c.d,若菱形abcd的内切圆恰好过焦点,求椭圆的离心率 请详细的解答
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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为:
A(a,0)、B(0,-b)、C(-a,0)、D(0,b)
则:AB=BC=CD=AD=√(a^2+b^2)
所以,四边形ABCD为菱形
且,因为:c^2=a^2-b^2
所以,菱形ABCD的内切圆方程为:x^2+y^2=c^2=(a^2-b^2)
过点AB的直线方程为:bx-ay-ab=0
那么,因为圆是ABCD的内切圆,则圆心(原点)到直线的距离等于圆的半径
所以:d=|0-0-ab|/√(a^2+b^2)=ab/√(a^2+b^2)
所以:ab/√(a^2+b^2)=√(a^2-b^2)
===> ab=√(a^2+b^2)(a^2-b^2)
===> a^2b^2=a^4-b^4
===> a^4-a^2b^2-b^4=0
===> a^2=(√5+1)b^2/2
所以,c^2=a^2-b^2=(√5+1)b^2/2-b^2=(√5-1)b^2/2
所以:e^2=(c/a)^2=c^2/a^2=[(√5-1)b^2/2]/[(√5+1)b^2/2]
=(√5-1)/(√5+1)
=(√5-1)^2/[(√5+1)(√5-1)]
=(√5-1)^2/4
所以:e=(√5-1)/2