函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性(2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005,2005】上的根的个数,并证明你的结论为什么 f(1)= f(3
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/03 05:49:32
函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性(2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005,2005】上的根的个数,并证明你的结论为什么 f(1)= f(3
函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性
(2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005,2005】上的根的个数,并证明你的结论
为什么 f(1)= f(3)=0 而f(7)≠0
函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性(2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005,2005】上的根的个数,并证明你的结论为什么 f(1)= f(3
(Ⅰ) 由于f(2-x)= f(2+x),f(7-x)= f(7+x)
可知f(x)的对称轴为x=2和x=7,即f(x)不是奇函数.
联立f(2-x)= f(2+x)
f(7-x)= f(7+x)
推得f(4-x)= f(14-x)= f(x)
即f(x)=f(x+10),T=10
又 f(1)= f(3)=0 ,而f(7)≠0
故函数为非奇非偶函数.
(Ⅱ)f(x)=f(x+10),T=10
由f(4-x)= f(14-x)= f(x)
且闭区间[0,7]上只有f(1)= f(3)=0
得f(11)= f(13)=f(-7)= f(-9)= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
则方程f(x)=0在闭区间[0,2005]上的根为402个,方程f(x)=0在闭区间[-2005,0]上的根为400个
得方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数为802个
且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0 这说明只有f(1),f(3)=o,那f(7)不等于0了,又周期是10,所以f(-3)也不等于0,即f(-3)不等于f(3),所以非偶