在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证：∠C=90°只学到了直角三角形的性质与勾股定理
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 11:10:08
在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证：∠C=90°只学到了直角三角形的性质与勾股定理
在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证：∠C=90°
只学到了直角三角形的性质与勾股定理
在三角形ABC中,CD⊥AB,∠BCD=2∠ACD,垂足为D,如果BD=3AD,求证：∠C=90°只学到了直角三角形的性质与勾股定理
过点C作∠BCD的平分线CE交BD于E点
∵∠BCD＝2∠ACD
∴∠BCE＝∠ECD＝∠ACD
∵CD⊥AB
∴∠EDC＝∠ADC＝90°
又CD＝CD（公共）
∴ΔEDC≌ΔADC
∴ED＝AD
∵BD＝3AD
∴BE＝BD－ED＝3AD－AD＝2AD＝2ED
∵CE是∠BCD的平分线
∴CB/CD＝BE/DE＝2
（角平分线定理,证明如下：
在线段CB或其延长线取一点F,连接DF,使得∠CDF＝∠CBE
则在ΔCDF和ΔCBE中,
∠DCF＝∠BCE（角平分线）
∠CDF＝∠CBE（作图）
∴ΔCDF∽ΔCBE
∴DC/DF＝BC/BE………………………………(1)
∠DFC＝∠BEC
∴∠DFE＝∠DEF（等角的补角相等）
∴ΔDEF是等腰三角形,DE＝DF………………(2)
把(2)代入(1),得：
DC/DE＝BC/BE
变形,即得：
BC/CD＝BE/DE）
在RtΔBDC中,∠BDC＝90°,BC＝2CD,
则∠BCD＝60°
（特殊直角三角形性质,证明如下：
设点P为线段BC的中点,则有BP＝CP＝CD
过点P作PQ⊥BD于Q点,并连接PD
∵∠BQP＝∠BDC＝90°
∴PQ‖CD
∴BQ/DQ＝BP/CP＝1,即BQ＝DQ
∴ΔBQP≌ΔDQP
∴BP＝DP
在ΔPCD中,PD＝CP＝CD
∴ΔPCD是正三角形
∴∠PCD＝60°）
∵∠BCD＝2∠ACD＝60°
∴∠ACD＝30°
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝30°＋60°＝90°
我是蒯浪
怎么做啊