如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 21:35:53
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
如图,AB为⊙O的直径,点C位弧AB的中点,弦CE叫AB于点F,D为AB延长线上的一点,切DE=DF.(1)求证:DE是⊙O的切线;
证明:(1)连接AC,如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC(1分)
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC(3分)
∴CF=BF;(4分)
(2)证法一:作CG⊥AD于点G,
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC,
即AC是∠BAD的角平分线.(5分)
∴CE=CG,AE=AG(6分)
在Rt△BCE与Rt△DCG中,
CE=CG,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL)
∴BE=DG(7分)
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4,即BE=2(8分)
又△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12(9分)
BC=±2 (舍去负值)
∴BC=2 .(10分)
证法二:∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°,(5分)
在Rt△ADB与Rt△FEB中,
∵∠ABD=∠FEB
∴△ADB∽△FEB,则
即 ,∴BF=3EF(6分)
又∵BF=CF,∴CF=3EF
利用勾股定理得:
(7分)
又∵△EBC∽△ECA
则 ,即则CE2=AE•BE(8分)
∴(CF+BF)2=(6-BE)•BE
即(3EF+EF)2=(6-2 EF)•2 EF
∴EF= (9分)
∴BC= .(10分)
1)证明:DE=DF,则∠EDF=∠DFE=∠CFO.
连接OC,OE,OC=OE,则∠OCE=∠OEC.
又点C为半圆AB的中点,则OC⊥AB.
∴∠OCE+∠CFO=90°,则∠OEC+∠EDF=90°,得直线DE是圆O的切线.