奥数（也可能是逻辑）问题:A、B、C决斗,三人各在一个等边三角形的各个顶点上.已知A的射击准确率是100%,B是80%,C是50%.规则是：抓阄决定谁先打枪,谁第二,谁最后.每人每次只能打一枪.每次射

奥数（也可能是逻辑）问题:A、B、C决斗,三人各在一个等边三角形的各个顶点上.已知A的射击准确率是100%,B是80%,C是50%.规则是：抓阄决定谁先打枪,谁第二,谁最后.每人每次只能打一枪.每次射
奥数（也可能是逻辑）问题:
A、B、C决斗,三人各在一个等边三角形的各个顶点上.已知A的射击准确率是100%,B是80%,C是50%.规则是：抓阄决定谁先打枪,谁第二,谁最后.每人每次只能打一枪.每次射击者可向他选定的任意目标射击.按以上程序持续进行,直到其中两人被击毙.假设每个决斗者对于确定的目标都计算无误,并且没有人被瞄准他的流弹击中,那么谁活下来的可能最大,谁第二,谁最容易死?
C最容易活下来，A其次，B最容易死掉。
你没有看错，我也没有打错，C准确率最低存活率却最高！
d
到底为什吗啊

奥数（也可能是逻辑）问题:A、B、C决斗,三人各在一个等边三角形的各个顶点上.已知A的射击准确率是100%,B是80%,C是50%.规则是：抓阄决定谁先打枪,谁第二,谁最后.每人每次只能打一枪.每次射
首先确定 为了能活下去,每人肯定先打准确率较高的对手
先考虑两人对射的存活概率
（1）AB A100% B 0% (2)AC A100% C 0% (3)BA A 20% B 80%
（4）CA A5% B 50% （5）BC 对射
设B在第K轮对射中打死C,概率为0.2^(k-1)*0.5^(k-1)*0.8,
设C在第K轮对射中打死B,概率为0.2^(k-1)*0.5^(k-1)*0.2*0.5
B存活概率为 sum(0.2^(k-1)*0.5^(k-1)*0.8,k=1到无穷）=8/9
C存活概率为 sum(0.2^(k-1)*0.5^(k-1)*0.2*0.5,k=1到无穷）=1/9
（6）CB 对射 类似（5）讨论知B存活概率为 sum(0.5^(k-1)*0.2^(k-1)*0.5*0.8,k=1到无穷）=4/9
C存活概率为 sum(0.5^(k-1)*0.2^(k-1)*0.5,k=1到无穷）=5/9
再考虑三者情形
抓阄决定打枪次序有6种,ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
第一、二种情形 次序ABC或ACB,第一枪A打死B,然后C打A 50%A死,若A不死,下一枪C必死
显然B必死,AC各为50%=1/2
第三种情形 BAC 第一枪B打A,A死概率80%,若A不死B必死,以后CA对射 ,知AC各为50%
若第一枪A死,则CB对射,知BC活概率为4/9,5/9
此类情形A存活概率为20%*50%=10%=1/10 ,B存活概率为 80%*4/9=16/45,C存活概率为 20%*50%+80%*5/9=49/90
第四种情形 BCA
1）若第一枪B打死A,概率80%,则CB对射,知BC活概率为4/9,5/9
2）若第一枪B没打死A,第二枪C打死A 概率20%*50% 后面BC对射 知BC活概率为8/9,1/9
3）若第一枪B没打死A,第二枪C也没打死A,则B死,概率20%*50% 后面CA对射 知AC各为50%
A存活 20%*50%*50%=0.05=1/20,B存活 80%*4/9+20%*50%*8/9=4/9,C存活 80%*5/9+20%*50%*1/9+20%*50%*50%=91/180
第五种情形 CAB 第一枪C打A,A死概率50%,若A不死B必死,以后CA对射 ,知AC各为50%
若第一枪A死,则BC对射,知BC活概率为8/9,1/9
此类情形A存活概率为50%*50%=25%=1/4,B存活概率为 50%*8/9=4/9 ,C存活概率为 50%*50%+50%*1/9=11/36
第六种情形 CBA
1）若第一枪C打死A,概率50%,则后面BC对射,知BC活概率为8/9,1/9
2）若第一枪C没打死A,第二枪B打死A 概率50%*80% 后面CB对射 知BC活概率为4/9,5/9
3）若第一枪C没打死A,第二枪B也没打死A,则B死,概率20%*50% 后面CA对射 知AC各为50%
A存活 20%*50%*50%=0.05=1/20,B存活 50%*8/9+50%*80%*4/9=28/45,C存活 50%*1/9+50%*80%*5/9+20%*50%*50%=59/180
总平均A存活概率为 (1/2+1/2+1/10+1/20+1/4+1/20)/6=29/120=0.24166666666666.
总平均B存活概率为 (0+0+16/45+4/9+4/9+28/45)/6=14/45=0.3111111.
总平均C存活概率为 (1/2+1/2+49/90+91/180+11/36+59/180)/6=161/360=0.44722222222222.
应该是C最容易活下来,B其次,A最容易死掉.

博弈

如果顺序为：C A B 则C 将放空枪，接下来如果A击中B第一轮结束
如果顺序为：C B A，同样C放空，接下来如果B击不中A，则A将击中B
如果顺序为：B C A ，如果B击中A，则C将可能击中B，如果B不能击中A，C也不能击中A，接下来A将击中B。AB全死的机会为0.4
如果顺序为：B A C ，如果B击中A，则C将可能击中B，如果B不能击中A，则A将：如果击中C，则下...

全部展开

如果顺序为：C A B 则C 将放空枪，接下来如果A击中B第一轮结束
如果顺序为：C B A，同样C放空，接下来如果B击不中A，则A将击中B
如果顺序为：B C A ，如果B击中A，则C将可能击中B，如果B不能击中A，C也不能击中A，接下来A将击中B。AB全死的机会为0.4
如果顺序为：B A C ，如果B击中A，则C将可能击中B，如果B不能击中A，则A将：如果击中C，则下轮中将与B对决。如果击中B，则本局中将有可能被C击中。通过计算，A将击中C。AB全死的机会为0.4
如果顺序为：A B C 则A击中B，C将可能击中A，AB全死的机会为0.5
如果顺序为：A C B ，则A将击中B，C将可能击中A。AB全死的机会为0.5
以上6种可能进行综合得到：A死亡率为：（0+0.8+0.8+0.8+0+0）/6=2.4/6
B的死亡率为：（1+0.2+0.6+0.4+1+1）/6=4.2/6
C的死亡率为：（0+0+0+0.2+0+0）/6=0.2/6
AB全死的概率为：（0.4+0.4+0.5+0.5）/6=1.8/6
得到C在第一局中死亡的概率很小，也且，在第一轮中AB都死的机会也很大。

收起

提醒一下artintin,你做得很详细，但是最后三种情况处理错了，其实1楼已经注意到了但没明确说出来，在AB都存活的前提下，C的最优策略是开空枪随便乱射一把而不是射A,把局面拖成第一或第三种情况，这样他能保证之后50%的存活率，当然不考虑随便乱射反而射死人的情况（C好歹也是有50%准确率的,不是个小孩子在玩枪）。
事实上在任何一种情况下C的存活率都不会低于50%.。所以你最后得出的...

全部展开

提醒一下artintin,你做得很详细，但是最后三种情况处理错了，其实1楼已经注意到了但没明确说出来，在AB都存活的前提下，C的最优策略是开空枪随便乱射一把而不是射A,把局面拖成第一或第三种情况，这样他能保证之后50%的存活率，当然不考虑随便乱射反而射死人的情况（C好歹也是有50%准确率的,不是个小孩子在玩枪）。
事实上在任何一种情况下C的存活率都不会低于50%.。所以你最后得出的结论才会变成A最容易死掉，因为你认定了A是出头鸟会被两家打，但C其实完全应该坐山观虎斗。
这是个博弈论很重要的模型，为我们作决策作出一些重要的参考，对于最弱的势力，有时候什么都不做才是最优策略。举个例子，三国演义中，赤壁之战，曹孙火并，孙刘联盟，孙权出人出粮积极抗曹，，而刘备则只是捡现成便宜，末了还要华容道放走曹操，继续观二虎相争于江陵。

收起