在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 19:11:46
在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin

在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2
在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2

在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2
证明:(1)必要性.
若△ABC为直角三角形,由对称性,不妨设
A+B=C=pi/2.
则 sin²A+sin²B+sin²C
=sin²A+sin²(pi/2-A)+sin²(pi/2)
=sin²A+cos²A+1
=2.
(2)充分性.
若 sin²A+sin²B+sin²C=2,
A,B,C属于(0,pi),且A+B+C=pi,
则 cos 2A +cos 2B +cos 2C
=(1-2sin²A)+(1-2sin²B)+(1-2sin²C)
=3-2(sin²A+sin²B+sin²C)
= -1.
又因为 C=pi-A-B,
所以 cos 2C =cos(2pi-2A-2B)
=cos(2A+2B).
所以 0=cos 2A +cos 2B +cos(2A+2B) +1
=2cos(A+B) cos(A-B) +2cos²(A+B)
=2cos(A+B) [cos(A-B) +cos(A+B)]
=4cos(A+B)cos A cos B.
所以 cos(A+B)=0,或 cos A=0,或cos B=0,
所以 A+B=pi/2,或 A=pi/2,B=pi/2.
所以 △ABC为直角三角形.
综上,△ABC为直角三角形的充要条件
sin²A+sin²B+sin²C=2.
= = = = = = = = =
说明:
sin²A+sin²B+sin²C=2 等价于
cos 2A +cos 2B +cos 2C = -1.
cos²A+cos²B+cos²C=1.
a²+b²+c²=8R².
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