如何通过频率分布直方图求平均数,众数,中位数及原理.

如何通过频率分布直方图求平均数,众数,中位数及原理.
如何通过频率分布直方图求平均数,众数,中位数及原理.

如何通过频率分布直方图求平均数,众数,中位数及原理.
中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例之一

众数、中位数、平均数

白涛



一、教学内容解析

这是一堂关于众数、中位数、平均数的概念课．

统计学最关心的是：我们的数据能提供哪些信息．为了能从数据中得到信息,除了对数据进行整理外,人们还用这些数据生成一些新的数,用它们来反映这组数据的特性,给出我们需要的信息,从而从整体上更好地把握总体的规律．

在九义阶段,学生已通过实例,基本理解了众数、中位数、平均数的意义,会求数据的众数、中位数、平均数,并解释结果的实际意义,还能初步用样本的平均数估计总体的平均数,体会用样本估计总体的思想．在此基础上,高中必修内容要在解决统计问题的过程中,更好地理解众数、中位数、平均数的意义,进一步会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体的数字特征,突出用样本估计总体的思想,并结合样本的选取初步体会样本数字特征的随机性,这将有利于学生从整体上更好地把握总体的规律,并为选学内容学习离散性随机变量的均值奠定基础．

二、教学目标解析

1．结合实际问题,让学生进一步学会用样本的众数、中位数、平均数等数字特征估计总体数字特征,并在此过程中突出用样本估计总体的思想,进一步体会定性分析与定量分析相结合的思想．

2．让学生能结合实际问题,比较三种数字特征的优劣,从而更好地用样本数字特征反映总体数字特征．

3．在用样本数字特征反映总体数字特征的过程中,体会由于样本数据的变化带来的数字特征的变化的随机思想,以及在此随机变化过程中总体呈现出来的统计规律．

4．在获取样本数字特征的过程中,让学生理解数据的不同整理方法,以及不同图表的特点,从而学会如何从表示样本数据的各种图表中获取众数、中位数、平均数．

三、教学问题诊断分析

1．通过以往的教学,学生已经知道样本的众数、中位数、平均数等数字特征都能反映总体集中程度的共同特性,但要选择哪个数字特征才能更好地把握总体的规律,学生就不太清楚了.所以,教学的重点应放在这些数字特征的作用和意义上,关键是结合问题的具体情况进行分析．

2．以往教学存在的主要问题是学生只关心个别的知识点,而缺乏对统计这一学科的整体把握,不清楚统计这学科是做什么的．很多学生把这部分内容当成了数据的加减乘除和它们的简便算法来学,结果不少学生不知道如何根据问题的实际从数据中提取怎样的信息来反映整体的特性．针对这一问题,教学应通过紧扣问题实际,突出这些数字特征的作用和意义,从而突破这一难点．

3．搜集数据以及对数据进行整理和画统计图表,其目的都是为了能从数据中得到信息．但很多学生在学习整理数据时,把主要精力放在了如何画图表等方法上,而没有去关注如此整理数据后,能提取何种信息．所以,教学还要注意让学生进一步理解不同的整理方法以及不同图表的特点,学会从图表中提取数字特征．

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的数字计算和画统计图表中解脱出来,将精力放在对概念的理解和突出思想方法上,可根据下列不同的情况,设计教学条件,支持教学．

1．理想的教学应该是在计算机或图形计算器的支持下完成的．教学之前,老师将搜集的数据传输到学生的计算机或图形计算器中．在教学和作业中,学生只需利用机器中的统计软件直接计算或画统计图表．本教学设计将建立在此条件的基础上．

2．如果只有科学计算器,教师应事先对收集的数据进行处理,在教学和作业中采用挂图和作业单来给出统计图表,使学生能方便地得到三种数字特征．

3．在学生缺乏信息技术工具的条件下,教学和作业都应避免繁琐的计算,涉及到利用样本数据求数字特征,可直接将数字特征告知学生；而统计图可用挂图和作业单给出．

五、教学过程设计

（一）教学基本流程



（二）教学情景

1．概念的复习

问题1：表1是从高一年级随机抽出的甲乙两组同学的身高情况,现要选出一组同学,为他们订制服装去参加一次活动．问：

表1（单位：cm）
甲组
163
165
168
172
172
172
174
175
176
177
179
181
181
182
185

乙组
165
166
169
170
170
171
172
173
175
176
177
178
179
181
182


（1）如果要选身高较高的一组,你认为应该选哪一组?

（2）考虑到以后还要继续使用,只能订制一种规格的服装．你认为应该订制多少身高的服装?

（3）如果要从全年级中重新选一组身高一样的同学去参加活动,你认为选身高为多少的同学容易做到?

设计意图：结合具体问题复习所学过的众数、中位数、平均数概念．通过学生对问题的回答诊断他们对所学概念的理解情况．三个问题各有针对性,将三个问题放在一起让学生考虑,更利于了解学生对三个概念是否混淆．

师生活动：教师先提问学生,然后针对学生暴露出来的问题进行引导．在求平均数时,可利用信息技术工具完成．

如果学生是通过比较两组中最高的人来回答问题（1）时,可启发学生思考下列问题：

“身高较高的一组”是指一个组的整体情况还是个人情况?哪个数字特征能较好地反映小组整体的身高情况,为什么?

问题（2）和问题（3）可引导学生思考：

对比求出的三个数字特征,看看选哪个更合理?

问题2：结合上述问题,你能谈谈对众数、中位数、平均数的理解吗?

设计意图：通过问题之后的反思,具体地理解三个概念,达到对所学概念的梳理．

师生活动：学生先谈,然后教师进行归纳．关键是结合具体问题,既要说明三者的共性,又要突出三者间的差异．

2．概念的进一步理解

问题1：在实际问题中,有时我们并不需要了解总体的所有信息,而只对总体的某些数字特征更感兴趣．例如在上一节居民月用水量的问题中,有时就主要关心全市居民月用水量的众数、中位数、平均数．请根据所调查的100位居民月用水量的频率分布直方图（图1）,对全市居民月用水量的众数、中位数、平均数作出估计,并说明这些数字特征的实际意义．


设计意图：很多学生对从统计图表中能提取何种信息不甚了解,所以想通过设置本问题,让学生在具体问题的分析解决过程中,学会从直方图中获取众数、中位数、平均数,并进一步理解三种数字特征的意义．

师生活动：在教学中,可以让学生先思考：

（1）如何根据图1,估计月用水量的众数、中位数、平均数?

为了帮助学生更好地理解三种数字特征,如图2（1）,可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”；如图2（2）,可将中位数看作整个直方图面积的“中心”；如图2（3）,可将平均数看作整个直方图面积的“重心”．




由于估计出来的中位数值与样本的中位数值不同,所以可以启发学生作下列思考：

（2）如图2（2）,2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释一下原因吗?

在此基础上,组织学生讨论：

（3）所估计出来的这些数字特征有什么实际意义?

问题2：如果要对居民用水量进行限制,你认为对哪部分居民的用水量作出限制较为合理?

设计意图：是否能较好地理解数字特征,还包括能否正确地选择数字特征帮助解决实际问题．而在这一方面,恰好是学生所欠缺的．所以想通过本问题,让学生能从三种数字特征中选择并运用某种数字特征解决问题,从中体会各种数字特征在解决实际问题中的作用,并进一步理解各种数字特征的实际意义．

师生活动：教师提出问题后,可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时,可启发他们思考下列问题：

（1）显然,要对用量大的居民的用水量作出限制．那么,用量大小如何衡量?

（2）能否用众数来衡量用量的大小?用中位数和平均数来衡量,哪个更合理?为什么?

问题3：你认为上述三种数字特征,哪种能更好地反映全市居民用水的总体水平?

众数
---就是在给出的一些数字中出现频率最多的那个数。
中位数
---就是把给出的数从小到大排列，同时依次去掉首尾的数直到最中间的那个数为止，要是去掉到最后还剩2个数的话，就取那两个数的平均数。
平均数
---指把在题目中给出的数据的数全部相加的和除以相加数的个数，得出的数就是平均数。...

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众数
---就是在给出的一些数字中出现频率最多的那个数。
中位数
---就是把给出的数从小到大排列，同时依次去掉首尾的数直到最中间的那个数为止，要是去掉到最后还剩2个数的话，就取那两个数的平均数。
平均数
---指把在题目中给出的数据的数全部相加的和除以相加数的个数，得出的数就是平均数。

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