如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：1、AE=BF,AE⊥BF；2、AD=GD

如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：1、AE=BF,AE⊥BF；2、AD=GD
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：
1、AE=BF,AE⊥BF；
2、AD=GD

如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证：1、AE=BF,AE⊥BF；2、AD=GD
1、证明：在RT△ABE和RT△BCF中
因为：AB=BC,BE=CF
所以：这两个直角三角形全等
所以：AE=BF,  ∠BEG=∠BFC
在△BEG和△BFC中：∠BEG=∠BFC,公共角∠EBG=∠FBC
所以；这两个三角形相似,有∠BGE=∠BCF=90°
即：AE⊥BF
2、由∠AGF=∠ADF=90°得知A, G, F, D四点共元,
所以：∠DAG=∠BFC,∠AGD=∠AFD
而：由△ADF≌△BCF得知∠AFD=∠BFC
所以：∠AGD=∠BFC=∠DAG
即：△ADG是等腰三角形
所以：AD=DG

1.因为EF分别为BC/CD中点，所以有BE=CF
又因为角c=角ABE
AB=BC
所以三角形ABE≌三角形BCF
所以AE=BF，角FBC=角BAE
因为角BAE+角AEB=90
角AEB+角FBC=90
所以角FBE+角AEB=90
所以AE⊥BF

因为EF分别是中点，所以△ABE≌与△BCF 所以AE=BF
所以∠BAE=∠CBF，又因为∠AEB=∠AEB，所以△ABE≌三角形BGE，所以∠BGE=∠B=90°
连接AF，通过上式证明，得AF⊥DG，所以∠AFD=60°，所以∠AFG=60°，所以∠FGA=30°，所以∠AGD=60°=∠DAG
所以AD=DG

BE=CF，AB=BC，角ABE=角BCF
故△ABE≌△BCF
故AE=BF，∠BAE=∠FBE
而∠BAE+∠BEA=90°故∠BEG+∠GEB=90°
故∠BGE=90°即BF⊥AE
取AB中点H连接DH交AE于M，则由上面的证明同理可得DH⊥AE
易证△ABG≌△DAM∽△AEB(过程有点多，但是很简单，我就不写了，见谅哈）
故AM=...

全部展开

BE=CF，AB=BC，角ABE=角BCF
故△ABE≌△BCF
故AE=BF，∠BAE=∠FBE
而∠BAE+∠BEA=90°故∠BEG+∠GEB=90°
故∠BGE=90°即BF⊥AE
取AB中点H连接DH交AE于M，则由上面的证明同理可得DH⊥AE
易证△ABG≌△DAM∽△AEB(过程有点多，但是很简单，我就不写了，见谅哈）
故AM=BG=AG/2即M为AG中点，即DH为AG的垂直平分线，故AD=DG

收起

1）RT△ABE及RT△CBF中，∠ABE=CBF=90°，AB=CB，BE=CF，所以RT△ABE≌RT△CBF，即AE=BF且∠BAE=∠CBF，所以∠CBF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°，即AE⊥BF。
2）取AB中点H，连DH交AE与K，不难知BH//=FD，所以四边形DHBF是平行四边形。所以HK//BG。有H是AB中点，所以HK是△ABG的中位线，所以K是AG中点，又因...

全部展开

1）RT△ABE及RT△CBF中，∠ABE=CBF=90°，AB=CB，BE=CF，所以RT△ABE≌RT△CBF，即AE=BF且∠BAE=∠CBF，所以∠CBF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°，即AE⊥BF。
2）取AB中点H，连DH交AE与K，不难知BH//=FD，所以四边形DHBF是平行四边形。所以HK//BG。有H是AB中点，所以HK是△ABG的中位线，所以K是AG中点，又因AE⊥BF，所以DK⊥AG，即△ADG的AG边的中线及高重合，不难知△ADG是等腰三角形，AD=GD。

收起

1.在正方形中，AB=BC,又E.F为线平分线，所以BE=FC,，又角B=角C,所以三角形ABE全等于三角形BCF，所以AE=BF,角FBC=角EAB，所以角BGE等于90度，角AE=角BF

∵ABCD是正方形
∴角ABE=角BCF=90°，AB=BC=CD
又：E、F分别是BC、CD的中点
∴BE=CF
在三角形ABE与△BCF中，AB=BC，角ABE=角BCF，BE=CF
∴△ABE ≌ △BCF
∴AE=BF
∵△ABE ≌ △BCF
∴角BAE=角CBF
又：角BAE+角BEG=90°
∴角CBF+...

全部展开

∵ABCD是正方形
∴角ABE=角BCF=90°，AB=BC=CD
又：E、F分别是BC、CD的中点
∴BE=CF
在三角形ABE与△BCF中，AB=BC，角ABE=角BCF，BE=CF
∴△ABE ≌ △BCF
∴AE=BF
∵△ABE ≌ △BCF
∴角BAE=角CBF
又：角BAE+角BEG=90°
∴角CBF+角BEG=90°
∴角EGF = 角EBG+角BEG=角CBF+角BEG=90°
∴AE⊥BF
做DM∥FB，分别交AB、AE于M、N
∵AE⊥BF，DM∥FB
∴DM⊥AE
∴DN是△DAG的高线
又：BN∥FD，DM∥FB
∴MBFD是平行四边形
∴MB=FD=1/2BC=1/2AB，即M是AB中点
又：MN∥BG
∴N是AG中点
∴DN是是△DAG的中线
∵DN是△DAG的高线和中线
∴△DAG是等腰三角形
∴AD=GD

收起

第一问证明
三角形BCF全等于ABF，两个小问就全出来了
第二问：
设AB＝a（向量）。AD＝b.
DG＝DA+AG＝DA+tAE＝-b+t（a+b/2）＝ta+（t/2-1）b
DG＝DF+FG＝DF+sFB＝a/2+s（a/2-b）＝（1/2+s/2）a-sb
1/2+s/2＝t, -s＝t/2-1 消去s t＝4/5.DG＝（4/5）a+...

全部展开

第一问证明
三角形BCF全等于ABF，两个小问就全出来了
第二问：
设AB＝a（向量）。AD＝b.
DG＝DA+AG＝DA+tAE＝-b+t（a+b/2）＝ta+（t/2-1）b
DG＝DF+FG＝DF+sFB＝a/2+s（a/2-b）＝（1/2+s/2）a-sb
1/2+s/2＝t, -s＝t/2-1 消去s t＝4/5.DG＝（4/5）a+（-3/5）b
DG²＝（4/5）²a²+（-3/5）²b²＝b²＝AD² .
|AD|＝|GD|

收起

11111