若(x-1)(y+1)=3,xy(x-y)=4,求x的7次方减去y的7次方的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 20:33:17
若(x-1)(y+1)=3,xy(x-y)=4,求x的7次方减去y的7次方的值.
若(x-1)(y+1)=3,xy(x-y)=4,求x的7次方减去y的7次方的值.
若(x-1)(y+1)=3,xy(x-y)=4,求x的7次方减去y的7次方的值.
∵（x－1）（y＋1）＝3,∴xy＋（x－y）－1＝3,∴xy＋（x－y）＝4,又xy（x－y）＝4,
∴由韦达定理可知：xy、x－y是方程z^2－4z＋4＝0的根.
由z^2－4z＋4＝0,得：（z－2）^2＝0,∴z＝2,∴x－y＝2、xy＝2,∴－xy＝－2.
∵x－y＝2、－xy＝－2,∴由韦达定理可知：x、－y是方程m^2－2m－2＝0的根.
由m^2－2m－2＝0,得：m^2－2m＋1＝3,∴（m－1）^2＝3,∴m－1＝√3,或m－1＝－√3,
∴m＝1＋√3,或m＝1－√3.
∴x＝1＋√3、－y＝1－√3；或x＝1－√3、－y＝1＋√3,
∴x＋y＝2√3,或x＋y＝－2√3.
一、由x－y＝2、x＋y＝2√3,得：x^2－y^2＝2√3.
由x＋y＝2√3,得：x^2＋2xy＋y^2＝12,∴x^2＋y^2＝12－2xy＝12－2×2＝8.
∴（x^2－y^2）（x^2＋y^2）＝16√3,∴x^4－y^4＝16√3.
由x＋y＝2√3,得：x^3＋3xy（x＋y）＋y^3＝24√3,
∴x^3＋y^3＝24√3－3xy（x＋y）＝24√3－3×2×2√3＝12√3.
∴（x^4－y^4）（x^3＋y^3）＝16√3×12√3＝576,
∴x^7＋（xy）^3（x－y）－y^7＝576,
∴x^7－y^7＝576－（xy）^3（x－y）＝576－2^3×2＝576－16＝560.
二、由x－y＝2、x＋y＝－2√3,得：x^2－y^2＝－2√3.
由x＋y＝－2√3,得：x^2＋2xy＋y^2＝12,∴x^2＋y^2＝12－2xy＝12－2×2＝8.
∴（x^2－y^2）（x^2＋y^2）＝－16√3,∴x^4－y^4＝－16√3.
由x＋y＝－2√3,得：x^3＋3xy（x＋y）＋y^3＝－24√3,
∴x^3＋y^3＝－24√3－3xy（x＋y）＝－24√3＋3×2×2√3＝－12√3.
∴（x^4－y^4）（x^3＋y^3）＝－16√3×（－12√3）＝576,
∴x^7＋（xy）^3（x－y）－y^7＝576,
∴x^7－y^7＝576－（xy）^3（x－y）＝576－2^3×2＝576－16＝560.
综上一、二所述,得：x^7－y^7＝560.