已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证DB1垂直平面ACD1T

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/21 12:12:09

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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证DB1垂直平面ACD1T
在平面ABCD中,BD是斜线DB1的射影,
而AC⊥BD,（正方形对角线互垂直）,
根据三垂线定理,
AC⊥DB1,
同理,在平面ADD1A1上,
AD1⊥DB1,
而AD1∩AC=A,
∴DB1⊥平面ACD1.

全部展开

法一，证明：连接BD，
因为AC垂直于BB1，且AC垂直于BD，所以AC垂直于面BB1D
又因为B1D在面BB1D行，所以AC垂直于B1D
连接C1D，
因为CD1垂直于C1D
CD1垂直于B1C1
所以CD1垂直于面B1C1D
又因为B1D在面B1C1D上
所以CD1垂直于B1D
综上，所以B1D垂直于面ACD1
得证
法二证明：在平面ABCD中，BD是斜线DB1的射影，
而AC⊥BD，（正方形对角线互垂直），
根据三垂线定理，
AC⊥DB1，
同理，在平面ADD1A1上，
AD1⊥DB1，
而AD1∩AC=A，
∴DB1⊥平面ACD1

收起

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