已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证:这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/28 10:40:06
已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证:这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.
已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证:这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.
已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd为奇数,求证:这个多想是不能表示为两个整系数的多项式的乘积.
假设多项式能分解为两个整系数多项式的乘积
即假设x^3+bx^2+cx+d=(x+l)(x^2+mx+n);l.m.n是整数
那么原式=x^3+(m+l)x^2+(lm+n)x+ln
那么m+l=b;lm+n=c;ln=d;
由题意:bd+cd=(b+c)d是奇数 => b+c是奇数并且d是奇数;
那么ln=d; => l是奇数并且n是奇数;
那么b+c=m+l+lm+n=m(l+1)+(l+n)中;(l+1)和(l+n)是偶数
那么b+c也是偶数
这于题意相互矛盾;所以假设不成立 =>l.m.n不是整数;
即这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积
.已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数。若bd+cd为奇数,求证:这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积
若x^3+bx^2+cx+d能表示为两个整系数的多项式的乘积 ,一定有形式x^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x+r),
b=p+r,c=pr+q,d=qr.
若bd+cd=(b+c)d=(p+r+pr+q)qr为奇数,则q,r,p+r+p...
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.已知x^3+bx^2+cx+d的系数都是整数。若bd+cd为奇数,求证:这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积
若x^3+bx^2+cx+d能表示为两个整系数的多项式的乘积 ,一定有形式x^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)(x+r),
b=p+r,c=pr+q,d=qr.
若bd+cd=(b+c)d=(p+r+pr+q)qr为奇数,则q,r,p+r+pr+q都为奇数,但q,r都为奇数时,r+q为偶数,r+1为偶数,p(r+1)为偶数, p+r+pr+q为偶数,矛盾。所以结论成立。
O(∩_∩)O~
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