什么是三垂线定理?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 18:58:04
什么是三垂线定理?
什么是三垂线定理?
什么是三垂线定理?
三垂线定理就是在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
定义 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 逆定理 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 证明 用线面垂直证明 已知：如图，PO在α上的投影OA垂直于a 求证：OP⊥a 证明：过P做PA垂直于α ∵PA⊥α ∴PA⊥a 又a⊥OA OA∩PA=A ∴a⊥平面POA ∴a⊥OP 用向量证明三垂线定理 1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b属于α，且b垂直于OA，求证：b垂直于PA 证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA） ∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O，∴PA⊥b。 2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。 ∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。 使用 1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射 影),a(直线)之间的垂直关系. 2,a与PO可以相交,也可以异面. 3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理. 关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线. 至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂, 二射,三证.即 第一,找平面(基准面)及平面垂线 第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与 一条斜线. 第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直. 注： 1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系